Семиклассники языковой гимназии изучают английский… (алгебра)

№ Три языка, не менее двух у каждого

⚠️

Задание видно не целиком: верх листа обрезан, начало условия не читается, поэтому оно не решено. Чтобы его решить, переснимите фото так, чтобы было видно всё условие задания , лучше по – задания на фото.

Семиклассники языковой гимназии изучают английский, немецкий и французский языки, причём каждый из 100 учеников в параллели изучает как минимум два иностранных языка. Известно, что английский изучает 79 учеников, немецкий — 69, а французский — 71. Сколько учеников изучают все три иностранных языка?

Решение

Пусть учеников изучают все три языка, а — ровно два языка. Каждый ученик изучает хотя бы два языка, поэтому

Сложим числа изучающих каждый язык: . В эту сумму ученик, изучающий три языка, входит раза, а изучающий два языка — раза:

Из первого уравнения . Подставим:

💡 Почему так

Сумма по языкам считает ученика столько раз, сколько языков он изучает. Поэтому, зная, что у каждого ровно два или три языка, можно составить два уравнения.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Разрезание фигуры на доминошки

Сколькими способами можно разрезать изображённую фигуру на прямоугольники 1 × 2 или 2 × 1?

Решение

Опишем фигуру по строкам сверху вниз. Столбцы нумеруем слева направо с до :

строка : столбцы , , ;
строка : столбцы , , , ;
строка : столбцы , , , ;
строка : столбцы , , , , ;
строка : столбцы , , , ;
строка : столбцы , .

Всего клетки, то есть прямоугольников.

Клетки, которые режутся однозначно.

Левая нижняя клетка (строка , столбец ) граничит только с соседней справа, поэтому они образуют прямоугольник.
Верхняя левая клетка (строка , столбец ) граничит только с клеткой под ней, поэтому это вертикальный прямоугольник.
Клетка в строке , столбце граничит только с клеткой слева, поэтому она образует прямоугольник с клеткой в строке , столбце .
Клетка в строке , столбце граничит только с клеткой над ней, поэтому они образуют вертикальный прямоугольник.

Что остаётся. Два блока × (строки –, столбцы –) и × (строки –, столбцы –). Они соприкасаются только по паре клеток: строка , столбец и строка , столбец .

Случай . Вертикальный прямоугольник через эту границу не ставим. Блоки режутся независимо:

блок × — способа;
блок × — способов.

Получаем .

Случай . Такой прямоугольник ставим. Тогда клетка в строке , столбце может образовать пару только с клеткой справа (строка , столбец ). Клетка в строке , столбце тогда образует пару только с клеткой под ней. Клетка в строке , столбце остаётся без пары. Способов нет: .

Итого .

💡 Почему так

Число разрезаний прямоугольника × n на доминошки равно числам Фибоначчи: для × это , для × это .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Бег по круговой дорожке

Маша и Даша бегут по круговой дорожке по часовой стрелке, каждая девочка с постоянной скоростью. Маша может пробежать круг за $t$ секунд, а Даша — за 60 секунд. Они стартуют из диаметрально противоположных точек. К моменту их первой встречи Маша пробежала ровно 30 кругов. Чему могло быть равно $t$ ? Укажите все подходящие варианты.

Решение

Пусть до первой встречи прошло время . Маша пробежала кругов, значит . Даша за это время пробежала кругов.

Девочки стартуют из диаметрально противоположных точек, то есть между ними полкруга. Бегут они в одну сторону, поэтому первая встреча происходит, когда более быстрая девочка обгонит другую ровно на пол-круга.

Если Маша быстрее ():

Если Даша быстрее ():

Если : скорости равны, девочки никогда не встретятся.

Проверка: при Маша пробежала кругов, Даша кругов, разница . При Маша пробежала кругов, Даша кругов, разница тоже .

💡 Почему так

Встреча при движении в одну сторону происходит, когда разность пройденных путей равна расстоянию между бегунами в начале, здесь это полкруга. Первая встреча соответствует наименьшей положительной разности.

Ответ

✓ dzmen.ru

;

Помогло?

Семиклассники языковой гимназии изучают английский, немецкий и французский…