Пятиугольная звезда состоит из пяти отрезков, которые соединяют пять её вершин так, как это показано на рисунке. Проведите прямую, которая пересечёт все эти пять отрезков. Можно ли провести эту прямую так, чтобы она не проходила через вершины звезды?
Обозначим вершины звезды по порядку обхода:
Пусть прямая не проходит ни через одну вершину. Тогда каждая вершина лежит строго по одну из двух сторон от прямой.
Прямая пересекает отрезок только тогда, когда его концы лежат по разные стороны от неё. Значит, при переходе по отрезку, который прямая пересекает, мы меняем сторону.
Допустим, прямая пересекает все пять отрезков. Тогда при обходе
Но мы вернулись в исходную вершину
Значит, прямая, не проходящая через вершины, не может пересечь все пять отрезков.
Если разрешить прямой проходить через вершины, то такая прямая есть. Например, прямая, содержащая одну из сторон звезды, например
Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Замкнутая ломаная пересекает прямую чётное число раз, потому что в конце обхода мы возвращаемся в ту же полуплоскость. Пять пересечений — нечётное число, поэтому они невозможны.
Нельзя. Прямая, не проходящая через вершины, не может пересечь все пять отрезков звезды. Это потому, что замкнутая ломаная пересекается с такой прямой чётное число раз, а
