На плоскости провели прямую и вне её отметили… (геометрия)

№ Точки и отрезки относительно прямой

⚠️

Не решены задания и . В задании часть условия закрыта плашкой « из ». В задании нельзя точно разобрать расположение семечек на рисунке. Пришлите их фото без наложенных элементов, крупнее и по – задания на фото.

На плоскости провели прямую и вне её отметили пять точек $A, B, C, D$ и $E$ так, что отрезки $A B, B C, C D$ и $D E$ пересекают прямую. Докажите, что отрезок $A E$ не пересекается с прямой.

Решение

Прямая делит плоскость на две полуплоскости. Отрезок с концами вне прямой пересекает её тогда и только тогда, когда его концы лежат в разных полуплоскостях.

Пусть лежит в первой полуплоскости.

пересекает прямую, значит во второй полуплоскости.
пересекает прямую, значит в первой.
пересекает прямую, значит во второй.
пересекает прямую, значит в первой.

Точки и лежат в одной полуплоскости, поэтому отрезок прямую не пересекает.

💡 Почему так

Каждое пересечение меняет полуплоскость. После четырёх пересечений мы возвращаемся в ту же полуплоскость, где начали.

Ответ

Точки и лежат по одну сторону от прямой, значит её не пересекает.

№ Прямая и отрезки между точками на окружности

На концах часовых отметок круглого циферблата часов поставили 12 точек, а затем попарно соединили отрезками (рис. 8). Можно ли провести прямую, которая пересечёт ровно 20 из этих отрезков?

Решение

Проведём прямую, не проходящую через точки. Пусть по одну сторону от неё точек, тогда по другую .

Отрезок пересекает прямую тогда и только тогда, когда его концы лежат по разные стороны. Таких отрезков .

Переберём значения:

Возьмём прямую, которая отсекает две соседние точки (например, и ) от остальных десяти. Она пересечёт отрезков.

💡 Почему так

Прямая, не проходящая через точки, делит их на две группы. Пересекают её только отрезки между точками из разных групп.

Ответ

Да, можно: прямая, отделяющая две соседние точки от остальных десяти.

№ *Раскраска частей плоскости

Четыре прямые разбивают плоскость на 11 частей. Всегда ли можно раскрасить все части в чёрный и белый цвет так, чтобы никакие две соседние части не были окрашены в один цвет?

Решение

Докажем индукцией по числу прямых, что раскраска возможна для любого числа прямых.

Одна прямая делит плоскость на две полуплоскости. Красим их в разные цвета.
Пусть для прямых правильная раскраска есть. Проведём -ю прямую и по одну сторону от неё поменяем цвета всех частей на противоположные.
Части, соседние через новую прямую, раньше были одного цвета (они были одной частью), а теперь разного.
Части, соседние через старые прямые, лежат по одну сторону от новой прямой. Они обе перекрашены или обе нет, поэтому цвета остаются разными.

Значит, для четырёх прямых раскраска всегда существует.

💡 Почему так

Перекраска всех частей по одну сторону новой прямой сохраняет правильность раскраски и исправляет границу вдоль новой прямой.

Ответ

Да, всегда.

№ *Прямая и вершины двух квадратов

Саша нарисовал на плоскости два квадрата с различными вершинами (рис. 9). Докажите, что Оля всегда сможет провести прямую так, чтобы в обеих полуплоскостях относительно этой прямой оказывалось одинаковое количество вершин каждого из квадратов.

Решение

Пусть и — центры квадратов. Проведём прямую (если центры совпадают, то любую прямую через общий центр, не проходящую через вершины).

Вершины квадрата разбиваются на две пары противоположных, симметричных относительно центра. Прямая через центр квадрата возможна в двух случаях.

Она не проходит через вершины. Тогда каждая пара противоположных вершин разделяется прямой, и по каждую сторону лежит по вершины.
Она проходит через две противоположные вершины (диагональ). Тогда две другие вершины лежат по разные стороны, то есть по с каждой стороны.

В обоих случаях по обе стороны прямой вершин данного квадрата поровну. Это верно для обоих квадратов, так как прямая проходит через оба центра.

💡 Почему так

Центр квадрата — центр симметрии. Прямая через центр переводится этой симметрией в себя и меняет полуплоскости местами, поэтому вершины делятся поровну.

Ответ

Прямая через центры квадратов подходит: вершин каждого квадрата по обе стороны от неё поровну.

№ *Замкнутая ломаная и прямая

Миша провёл прямую и отметил точку $A$ , не лежащую на ней. Начиная из точки $A$ , Миша стал проводить отрезки, не отрывая карандаш от бумаги и каждый раз пересекая отрезком прямую. В конце концов он завершил эксперимент, вернувшись в исходную точку $A$ . Мог ли Миша провести 2023 отрезка?

Решение

Каждый отрезок пересекает прямую, значит его концы лежат в разных полуплоскостях. После каждого отрезка Миша переходит в другую полуплоскость.

После чётного числа отрезков он окажется в той же полуплоскости, что и , после нечётного в другой.

Число отрезков нечётно, поэтому конечная точка лежала бы в полуплоскости, противоположной . Но конец совпадает с . Противоречие.

💡 Почему так

Каждый отрезок меняет полуплоскость. Чтобы вернуться в исходную точку, нужно чётное число отрезков.

Ответ

Нет, не мог.

№

Прямые и отрезки четырёхугольника

Постройте три прямые и отрезки $A B, B C, C D$ и $D A$ так, чтобы концы отрезков не лежали на прямых, каждую прямую пересекал хотя бы один отрезок и каждый отрезок пересекал ровно 2 прямых. Сколько получилось точек пересечения между прямыми и отрезками?

Решение

Подсчёт точек: каждый из отрезков пересекает ровно прямые, значит всего точек пересечения.

Построение (оно возможно). Возьмём ломаную с замыканием : , , , .

Прямая : пересекает все четыре отрезка.
Прямая : пересекает и .
Прямая : пересекает и .

Тогда пересекают ; пересекают ; пересекают ; пересекают . Концы отрезков на прямых не лежат.

Числа пересечений у прямых: .

💡 Почему так

Замкнутая ломаная пересекает любую прямую чётное число раз, поэтому у прямых по или пересечения. Сумма равна , а каждая прямая нужна хотя бы раз, так что распределение .

Ответ

точек пересечения.

№

Отрезки, пересекающие прямую

По одну сторону от прямой отметили четыре точки, а по другую — пять. Сколько отрезков с концами в этих девяти точках пересекает прямая? Сколько из них не пересекает?

Решение

Всего отрезков с концами в девяти точках:

Прямую пересекают отрезки, концы которых лежат по разные стороны:

Не пересекают:

💡 Почему так

Пересекает прямую только тот отрезок, концы которого в разных полуплоскостях.

Ответ

Пересекает отрезков, не пересекает .

№

Середины отрезков и прямая

Отрезок $A B$ пересекает отрезок $C D$ , причём точки $A$ и $B$ не лежат на прямой $C D$ . Точки $M$ и $N$ — середины отрезков $A C$ и $B D$ . Докажите, что отрезок $M N$ пересекает прямую $C D$ .

Решение

Отрезок пересекает отрезок , а и не лежат на прямой , значит и лежат по разные стороны от прямой .

Введём координаты: прямая — ось . Пусть , . Точки и лежат на оси, поэтому .

Ординаты середин:

Точки и лежат по разные стороны от прямой , значит отрезок пересекает эту прямую.

💡 Почему так

Расстояние от середины отрезка до прямой равно половине расстояния от его конца, если другой конец лежит на прямой, и знак сохраняется.

Ответ

Доказано: и лежат по разные стороны от прямой , поэтому её пересекает.

Помогло?

На плоскости провели прямую и вне её отметили пять точек A, B,…