Решена только задача
Пятиугольная звезда состоит из пяти отрезков, которые соединяют пять её вершин так, как это показано на рисунке. Проведите прямую, которая пересечёт все эти пять отрезков. Можно ли эту провести прямую так, чтобы она не проходила через вершины звезды?
Обозначим вершины звезды A, B, C, D, E. Пять отрезков: AC, CE, EB, BD, DA. Они образуют замкнутую ломаную A → C → E → B → D → A.
Проведём прямую через вершину C и центр звезды. Эта прямая — ось симметрии звезды.
- Она проходит через вершину C, а значит, пересекает отрезки AC и CE (в их общем конце C).
- Она пересекает отрезок BD, который перпендикулярен оси.
- Отрезки AD и BE симметричны относительно оси, поэтому пересекаются на ней. Ось проходит через их точку пересечения.
Итак, такая прямая пересекает все пять отрезков, но проходит через вершину C.
Допустим, прямая не проходит через вершины и пересекает все пять отрезков.
- Вершины не лежат на прямой, поэтому они делятся на две стороны от неё.
- Прямая пересекает отрезок только тогда, когда его концы лежат по разные стороны от неё.
- Идём по ломаной A → C → E → B → D → A. Каждый отрезок меняет сторону, и таких шагов пять.
- После пяти смен стороны мы оказались бы по другую сторону от A, хотя вернулись в A. Это противоречие.
Значит, такой прямой не существует.
Прямая пересекает отрезок, не проходя через его концы, только если концы лежат по разные стороны от неё. Пять отрезков звезды образуют замкнутый путь с нечётным числом шагов, поэтому стороны не могут чередоваться все пять раз.
Прямую, пересекающую все пять отрезков, провести можно, например, через вершину и центр звезды. Не проходя через вершины, это сделать нельзя.
