Постройте сечение треугольной пирамиды DABC… (геометрия)

№ Сечения тетраэдра плоскостью

Постройте сечение треугольной пирамиды $D A B C$ плоскостью, проходящей через следующие точки:
а) $B$ , $D$ и середину $M$ ребра $A C$ ;
б) $B$ и середины рёбер $A D$ и $C D$ ;
в) середину $K$ ребра $A D$ и точки $L$ и $M$ , лежащие на продолжениях рёбер $A B$ и $A C$ за точки $B$ и $C$ ;
г) середины рёбер $B C$ , $A D$ и точку $L$ , лежащую на продолжении ребра $A C$ за точку $C$ ;
д) середины $K$ , $L$ и $M$ рёбер $A D$ , $A B$ и $B C$ ;
е) $A$ , $C$ и точку пересечения медиан грани $A B D$ ;
ж) середины рёбер $A D$ , $C D$ и точку $L$ , лежащую на ребре $B C$ , если $B L : L C = 1 : 2$ ;
з) $K$ , $L$ и $M$ , лежащие на рёбрах $A D$ , $A B$ и $B C$ соответственно, если $A K : K D = B L : L A = B M : M C = 1 : 2$ ;
и) точки пересечения медиан граней $A B D$ , $B C D$ и $A B C$ ;
к) середины рёбер $B C$ , $C D$ и точку, лежащую на медиане $D M$ грани $A B D$ (край фото обрезан; медиана $D M$ из вершины $D$ может лежать только в грани $A B D$ ).

Решение

Во всех пунктах пирамида нарисована одинаково, невидимое ребро пунктиром. Сечение строим по следам плоскости на гранях: если две точки сечения лежат в одной грани, соединяем их отрезком.

а) Точки , , попарно лежат в одной грани: — ребро, — в грани , — в грани . Сечение — треугольник .

б) Пусть — середина , — середина . лежит в грани , — в грани , — в грани (и ). Сечение — треугольник .

в) Прямая лежит в грани и пересекает в точке . Прямая лежит в грани и пересекает в точке . Прямая проходит вне треугольника , поэтому основание плоскость не пересекает. Сечение — треугольник : в грани , в грани , в грани .

г) Пусть — середина , — середина . Прямая лежит в грани и пересекает в точке . Прямая лежит в грани и пересекает в точке . Сечение — четырёхугольник .

д) — средняя линия треугольника , значит . Плоскость параллельна , поэтому в грани она проходит через параллельно и пересекает в середине . Сечение — четырёхугольник (параллелограмм).

е) Пусть — точка пересечения медиан грани . Медиана продолжается до середины ребра . Плоскость содержит (в грани ) и (в грани ). Сечение — треугольник .

ж) Пусть — середина , — середина , тогда . Плоскость параллельна , поэтому в основании проходит через параллельно и пересекает в точке , где . Сечение — трапеция .

з) и , поэтому . Тогда плоскость параллельна и в грани проходит через параллельно , пересекая в точке , где . Сечение — трапеция .

и) Центроид каждой из граней , , отстоит от вершины на соответствующей медианы. Поэтому плоскость сечения параллельна грани и получается из неё гомотетией с центром и коэффициентом . Она пересекает рёбра , , в точках , , с , , . Сечение — треугольник .

к) Пусть — середина , — середина , тогда . Плоскость параллельна , поэтому в грани проходит через заданную точку медианы параллельно и пересекает в точке , а в точке . Для чертежа взята середина , тогда . Сечение — четырёхугольник , у него .

💡 Почему так

Сечение строят по следам секущей плоскости на гранях: соединяют точки, лежащие в одной грани; если нужно, продлевают прямые до пересечения с рёбрами. Если в плоскости есть прямая, параллельная ребру, то плоскость пересекает другие грани прямыми, параллельными этому ребру.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) треугольник ;
б) треугольник (, — середины , );
в) треугольник , , ;
г) четырёхугольник , , ;
д) параллелограмм , — середина ;
е) треугольник , — середина ;
ж) трапеция , , ;
з) трапеция , , ;
и) треугольник со сторонами, параллельными сторонам грани (вершины на , , на расстоянии длины ребра от );
к) четырёхугольник с .

Помогло?

Постройте сечение треугольной пирамиды DABC плоскостью, проходящей через…