Постройте сечение треугольника пирамиды DABC… (геометрия)

№ Сечения тетраэдра плоскостью

Постройте сечение треугольника пирамиды $D A B C$ плоскостью, проходящей через следующие точки:
а) $B$ , $D$ и середину $M$ ребра $A C$ ;
б) $B$ и середины рёбер $A D$ и $C D$ ;
в) середину $K$ ребра $A D$ и точки $L$ и $M$ , лежащие на продолжениях рёбер $A B$ и $A C$ за точки $B$ и $C$ ;
г) середины рёбер $B C$ , $A D$ и точку $L$ , лежащую на продолжении ребра $A C$ за точку $C$ ;
д) середины $K$ , $L$ и $M$ рёбер $A D$ , $A B$ и $B C$ ;
е) $A$ , $C$ и точку пересечения медиан грани $A B D$ ;
ж) середины рёбер $A D$ , $C D$ и точку $L$ , лежащую на ребре $B C$ , если $B L : L C = 1 : 2$ ;
з) $K$ , $L$ и $M$ , лежащие на рёбрах $A D$ , $A B$ и $B C$ соответственно, если $A K : K D = B L : L A = B M : M C = 1 : 2$ ;
и) точки пересечения медиан граней $A B D$ , $B C D$ и $A B C$ ;
к) середины рёбер $B C$ , $C D$ и точку, лежащую на медиане $D M$ грани $A B D$ .

Решение

Общий приём: сечение — многоугольник, стороны которого лежат в гранях. Если две точки сечения лежат в одной грани, соединяем их. Если сторона сечения не доходит до ребра, продолжаем её до пересечения с плоскостью другой грани. Невидимые отрезки (в задней грани и в основании ) показаны пунктиром.

а) Точки и — вершины, — середина .

лежит в грани (это ребро). лежит в основании . лежит в грани . Сечение — треугольник .

б) — середина , — середина .

лежит в грани , — в грани , — в грани (). Сечение — треугольник .

в) — середина .

Прямая лежит в грани , поэтому пересекает ребро в точке .
Прямая лежит в грани , поэтому пересекает ребро в точке .
Соединяем и (грань ). Плоскость пересекает три ребра, выходящие из , поэтому сечение — треугольник .

г) — середина , — середина , на продолжении за .

Прямая лежит в основании и пересекает в точке .
Прямая лежит в грани и пересекает в точке .
Соединяем с (грань ) и с (грань ). Сечение — четырёхугольник .

д) , , — середины , , .

— средняя линия треугольника , значит . Плоскость пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Она пересекает в середине . Сечение — параллелограмм (стороны и параллельны ).

е) — точка пересечения медиан грани .

Прямая — медиана грани , она пересекает в середине . и соединяем ребром , а с — в грани . Сечение — треугольник .

ж) — середина , — середина , .

— средняя линия треугольника , поэтому . Значит, плоскость пересекает основание по прямой, проходящей через параллельно . Она пересекает в точке , причём . Сечение — трапеция .

з) .

Так как , получаем . Значит, плоскость пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Она пересекает в точке , где . Сечение — трапеция .

и) Пусть , , — точки пересечения медиан граней , , .

Точки , , лежат на медианах из вершины к серединам , , и делят их в отношении от . Значит, плоскость получается из плоскости гомотетией с центром и коэффициентом , то есть параллельна . Она пересекает рёбра , , в точках , , с , , . Точки , , — середины сторон , , (на чертеже , , ). Сечение — треугольник .

к) — середина , — середина , — середина , — точка на (взята в точке пересечения медиан грани ).

— средняя линия треугольника , значит .
Плоскость содержит , поэтому пересекает грань по прямой, проходящей через параллельно . Эта прямая пересекает в точке и в точке .
и лежат в грани , и — в основании; соединяем их. Сечение — трапеция ().

💡 Почему так

Сечение строят по следам: две точки в одной грани соединяют отрезком, а если плоскость содержит прямую, параллельную ребру или грани, то она пересекает остальные грани по параллельным прямым.

Ответ

✓ dzmen.ru

а) треугольник
б) треугольник , где , — середины ,
в) треугольник , где ,
г) четырёхугольник , где ,
д) параллелограмм , где — середина
е) треугольник , где — середина
ж) трапеция , где — середина , ,
з) трапеция , где ,
и) треугольник , где , , лежат на , , , причём , ,
к) трапеция , где , ,

Помогло?

Постройте сечение треугольника пирамиды DABC плоскостью, проходящей через…