Постройте сечение тетраэдра ABCD, проходящее… (геометрия)

№ Сечение тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра $A B C D$ , проходящее через точки $E$ , $E_{1}$ , $E_{2}$ .
Точки заданы: $E \in D C$ , $E_{1} \in D B$ , $E_{2} \in A B$ .

Решение

Точки и лежат в грани . Проводим прямую .
Прямая пересекает прямую в точке .
Точки и лежат в плоскости основания . Проводим прямую .
Прямая пересекает ребро в точке .
Соединяем отрезками точки:
- и в грани ;
- и в грани ;
- и в грани ;
- и в грани .
Полученный четырёхугольник — искомое сечение.

Ответ

Четырёхугольник , где , .

№

Сечение тетраэдра

Постройте сечение тетраэдра $A B C D$ , проходящее через точки $E$ , $E_{1}$ , $E_{2}$ .
Точки заданы: $E \in A D$ , $E_{1} \in D C$ , $E_{2} \in A B C$ .

Решение

Точки и лежат в грани . Проводим прямую .
Находим след секущей плоскости на плоскости основания : прямая пересекает прямую в точке .
Точки и лежат в плоскости . Проводим прямую .
Прямая пересекает ребро в точке и ребро в точке .
Соединяем точки и в грани , а также и в грани .
Полученный четырёхугольник — искомое сечение.

Ответ

Четырёхугольник , где , , .

№

Сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F_{1}, F_{3}$ (и вершину $D$ , судя по обозначениям параллелепипеда $A B C D N M K L$ ).
Точки: $F_{1} \in M C$ , $F_{3} \in M L$ , точка $D$ — вершина.

Решение

Точки и лежат в грани : соединяем их отрезком .
Точки и лежат в передней грани : соединяем их отрезком .
Противоположные грани параллелепипеда параллельны:
- Грань параллельна грани . Через точку проводим прямую, параллельную , до пересечения с ребром в точке .
Соединяем точки и в плоскости нижней грани .
Четырёхугольник — искомое сечение.

Ответ

Четырёхугольник , где прямая и .

№

Сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F, F_{1}, F_{2}, F_{3}$ .
Точки: $F \in A K$ , $F_{1} \in M L$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{3} \in N M$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости нижнего основания : соединяем их отрезком .
Точки и лежат в грани : соединяем их отрезком .
Прямая пересекает ребро (или ребро , продлеваем до пересечения с рёбрами грани ).
Плоскость задней грани содержит точки и : соединяем и .
В плоскости левой грани точка соединяется со следом на (продолжение до даёт точку, соединяемую с ).
Соединяя последовательно полученные следы на всех пересекаемых гранях, получаем многоугольник сечения.

Ответ

Сечение строится последовательным соединением пар точек в общих гранях: в нижней грани, в правой грани, прямая в задней грани параллелепипеда, с замыканием контура через переднюю и левую грани.

№

Сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через $F, F_{1}, F_{2}, F_{3}$ .
Точки: $F \in A K$ , $F_{1} \in M L$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{3} \in A B$ .

Решение

Точки и лежат в задней грани , точка также лежит на ребре этой же грани. Прямая проходит через грань .
Точки и лежат в грани : соединяем их отрезком .
Прямая пересекает прямую в некоторой точке .
Через точку и точку в плоскости верхнего основания проводим прямую, которая пересекает соответствующие рёбра ( или ).
Из параллельности противоположных граней проводим параллельные отрезки в нижнем основании и боковых гранях и соединяем их в замкнутый многоугольник.

Ответ

Многоугольник сечения, полученный соединением точек в грани , отрезка в грани и параллельным переносом следов на противоположные грани.

№

Сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точки $F, F_{1}, F_{2}, F_{3}$ .
Точки: $F \in A K$ , $F_{1} \in M L$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{3} \in N M$ .

Решение

Соединяем точки и , лежащие в плоскости нижней грани .
Соединяем точки и , лежащие в плоскости правой боковой грани .
Точки и лежат в плоскости задней грани : проводим через них прямую .
Прямая пересекает прямую в точке .
Точка и точка лежат в плоскости левой боковой грани : проводим прямую через них, получая точку пересечения с ребром .
Соединяем точку и точку в передней грани .
Получаем замкнутый многоугольник — искомое сечение.

Ответ

Многоугольник со сторонами (нижняя грань), (правая грань), отрезок через (задняя грань), отрезок по левой грани и отрезок к по передней грани.

№

Сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точки $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ .
Точки: $F_{1} \in A K$ , $F_{2} \in B L$ , $F_{3} \in N M$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости задней грани : соединяем их отрезком .
Грань параллельна грани . Следовательно, секущая плоскость пересекает грань по прямой, параллельной .
Через точку проводим прямую, параллельную , до пересечения с рёбрами грани (с ребром в точке и с ребром в точке ).
Соединяем соответствующие точки в боковых гранях: с (в грани ) и с (в грани ).
Полученный четырёхугольник — искомое сечение.

Ответ

Параллелограмм, образованный отрезком , отрезком через параллельно в передней грани, и отрезками в боковых гранях и .

№

Сечение параллелепипеда

Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точки $F, F_{1}, F_{2}$ .
Точки: $F_{1} \in A B$ , $F \in N K$ , $F_{2} \in M L$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости нижнего основания : соединяем их отрезком .
Верхнее основание параллельно нижнему основанию . Следовательно, плоскость сечения пересекает грань по прямой, параллельной .
Через точку проводим прямую, параллельную , до пересечения с рёбрами верхнего основания (например, с в точке ).
Соединяем точки и (лежащие в плоскости левой грани или через дополнительное построение следов на рёбрах) и точку с .
Полученный четырёхугольник — искомое сечение.

Ответ

Четырёхугольник, образованный отрезком в нижнем основании, отрезком через параллельно в верхнем основании, и соединяющими их отрезками в боковых гранях.

Помогло?

Постройте сечение тетраэдра ABCD, проходящее через точки E, E₁, E₂. Точки…