Не решены: задача
Постройте сечение правильной пирамиды плоскостью, содержащей данную точку E и параллельной плоскости ABC.
Пирамида — треугольная, вершина D (на фото вершина не подписана), основание ABC, точка E лежит на ребре DA.
- Плоскость сечения параллельна ABC, поэтому пересекает боковые грани по прямым, параллельным сторонам основания.
- В грани DAC через E проводим прямую EF
AC, F лежит на ребре DC. - В грани DAB через E проводим прямую EG
AB, G лежит на ребре DB. - Соединяем F и G: FG
CB (по теореме о параллельных плоскостях). - Треугольник EFG — искомое сечение, он подобен треугольнику ABC.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии пересечения параллельны.
Сечение — треугольник EFG, где EF
Постройте сечение правильной пирамиды плоскостью, содержащей данную точку E и параллельной плоскости ABC.
Пирамида четырёхугольная, вершина C, основание ABB'A' (A, B — видимые вершины, остальные две — на заднем плане), точка E лежит на боковом ребре, идущем от C к правой вершине основания.
- Плоскость сечения параллельна основанию, значит, стороны сечения параллельны сторонам основания.
- В грани, содержащей E и ребро AB: через E проводим прямую, параллельную стороне основания AB, до пересечения со вторым боковым ребром этой грани, получаем точку P.
- В соседней боковой грани через E проводим прямую, параллельную стороне основания, идущей к правой вершине (боковая сторона), до пересечения с ребром CB, получаем точку Q.
- Через Q проводим прямую, параллельную AB, до ребра CA, получаем точку R. Через R проводим прямую, параллельную боковой стороне основания, до точки P.
- Невидимые части отрезков чертим пунктиром.
Четырёхугольник EPRQ подобен основанию (гомотетия с центром C).
Сечение, параллельное основанию, подобно основанию.
Сечение — четырёхугольник со сторонами, параллельными сторонам основания, подобный основанию.
Постройте сечение параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точку O пересечения его диагоналей параллельно грани а) AA1B1B; б) A1B1C1D1; в) AA1D1D.
Точка O — середина всех диагоналей, она равноудалена от противоположных граней, поэтому сечение проходит через середины рёбер.
а) Плоскость
б) Плоскость
в) Плоскость
В каждом случае O лежит в центре построенного параллелограмма.
Сечение параллельно данной грани, поэтому равно ей и проходит через середины четырёх параллельных рёбер.
а) параллелограмм через середины AD, BC, B₁C₁, A₁D₁; б) параллелограмм через середины AA₁, BB₁, CC₁, DD₁; в) параллелограмм через середины AB, DC, D₁C₁, A₁B₁.
Постройте сечение четырёхугольной пирамиды SABCD плоскостью MNK (см. рис. 68).
Точки: N на SB, K на SC, M на ребре основания CD.
- Соединяем N и K: NK лежит в грани SBC.
- Прямые NK и BC лежат в одной плоскости SBC, продлеваем до пересечения в точке P:
. - P лежит в плоскости основания, M тоже; проводим прямую PM, она пересекает ребро AD (или продолжение) в точке Q (на AD), а ребро CD — в точке M.
- Соединяем Q с точкой N или с продолжением по грани SAB: Q и N лежат в разных гранях, поэтому находим
в плоскости SAD/SAB (продолжаем AB до пересечения с PM). - Сечение — многоугольник NKMQR, при необходимости невидимые стороны чертим пунктиром.
Сечение строим по следу — линии пересечения плоскости сечения с плоскостью основания.
Сечение — многоугольник с вершинами N, K, M и точками на рёбрах AD и SA, найденными через след PM.
Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью MNK (см. рис. 69).
Точки: M на ребре
- Соединяем M и N — они лежат в грани
, отрезок MN — сторона сечения. - Продлеваем MN до пересечения с прямыми
и : точки , . - K лежит на ребре через D; соединяем X с K, получаем точку на ребре
или , в грани . - Соединяем Y с K, получаем точку на ребре
или , в грани . - Соединяем найденные точки с M и N; получаем пятиугольник сечения, невидимые стороны — пунктиром.
Прямая в плоскости сечения, продолженная до пересечения с рёбрами другой грани, даёт новые точки сечения.
Сечение — пятиугольник, содержащий M, N, K и точки на рёбрах, найденные через продолжение MN.
