Постройте сечение плоскостью, проходящей через заданные точки. K, P, M — середины рёбер AD, AB, BC соответственно. (Слева — куб с тремя отмеченными точками, справа — тетраэдр DABC с точками K, P, M.)
Куб. Назовём вершины: нижняя грань передняя ABB₁A₁ (A, B — передние, A₁, B₁ — задние), верхняя DCC₁D₁. Заданные точки: D₁ — вершина, M лежит на ребре CC₁, N лежит на ребре AA₁.
Шаги построения:
- Точки D₁ и N лежат в одной грани AA₁D₁D. Проводим прямую D₁N. Она пересекает прямую AD в точке Y (на продолжении ребра DA за точку A).
- Точки D₁ и M лежат в верхней грани. Проводим прямую D₁M. Она пересекает прямую DC в точке X (на продолжении за точку C).
- Точки X и Y лежат в плоскости передней грани ABCD. Проводим прямую XY. Она пересекает ребро AB в точке Q и ребро BC в точке R.
- Соединяем последовательно N, Q, R, M, D₁ (каждые две соседние точки лежат в одной грани): NQ — в нижней грани, QR — в передней, RM — в правой, MD₁ — в верхней, D₁N — в левой.
Сечение — пятиугольник NQRMD₁.
Тетраэдр.
Шаги построения:
- Точки K и P лежат в грани ABD. Проводим KP. Это средняя линия треугольника ABD, поэтому KP
BD. - Точки P и M лежат в грани ABC. Проводим PM. Это средняя линия треугольника ABC, поэтому PM
AC. - Плоскость сечения содержит прямую KP, параллельную BD. Значит, она пересекает плоскость BCD по прямой, параллельной BD. Проводим через M прямую, параллельную BD. Она пересекает ребро CD в точке N — середине CD.
- Соединяем N с K. Эта линия лежит в грани ACD, и KN — средняя линия треугольника ACD, поэтому KN
AC.
Сечение — четырёхугольник KPMN. Его противоположные стороны PM и KN параллельны AC, а KP и MN параллельны BD, так что это параллелограмм.
Сечение строят по следам: две точки, лежащие в одной грани, соединяют отрезком. Если точки в разных гранях, продолжают прямые до пересечения с прямыми рёбер и получают вспомогательные точки, лежащие в плоскости сечения. Если плоскость содержит прямую, параллельную другой прямой плоскости грани, то она пересекает эту грань по прямой, параллельной ей.
Куб: сечение — пятиугольник NQRMD₁, где Q ∈ AB, R ∈ BC — точки пересечения прямой XY с рёбрами.
Тетраэдр: сечение — параллелограмм KPMN, где N — середина ребра CD.
