Постройте сечение пирамиды SABCD, все рёбра которой равны 4, проходящее через…

Построение: Точки B и D лежат в плоскости основания, соединяем их: BD. Пусть M — середина SC. Соединяем M с B (грань SBC) и M с D (грань SCD). Треугольник BDM — искомое сечение.

Все рёбра равны , значит основание ABCD — квадрат со стороной , и .

Грани SBC и SCD — равносторонние треугольники со стороной . BM и DM — их медианы, значит они же высоты:

Пусть O — центр квадрата (середина BD). Треугольник BMD равнобедренный, поэтому MO — высота. O — середина AC, M — середина SC, поэтому MO — средняя линия треугольника SAC:

Проверка: .

Построение: Пусть M — середина AC. Плоскость сечения содержит AB, а , поэтому она пересекает верхнее основание по прямой, проходящей через M параллельно AB. Эта прямая пересекает BC в точке N — середине BC (MN — средняя линия треугольника ABC). Соединяем A с M и B с N. Сечение — четырёхугольник ABNM.

, значит ABNM — трапеция, , .

Из прямоугольного треугольника AAM (, ):

Так же , трапеция равнобедренная.

Высота трапеции: