Постройте графики функций и опишите их основные… (алгебра)

№ Степенная функция, график и свойства

Постройте графики функций и опишите их основные свойства:

$y = 2 x^{2}$
$y = 2 x^{- 3}$

Решение

. — парабола с вершиной в точке , ветви вверх.

x	-	-
y

Свойства:

, .
Функция чётная, так как .
Нуль функции: .
Убывает на , возрастает на .
Наименьшее значение равно при , наибольшего нет.
при .

. — гипербола вида , ветви в I и III четвертях.

x	-	-	-,	,
y	-,	-	-			,

Свойства:

, .
Функция нечётная, так как . График симметричен относительно начала координат.
Нулей нет, график не пересекает оси. Оси координат — асимптоты.
при , при .
Убывает на и на .
Наибольшего и наименьшего значений нет.

💡 Почему так

Чётная степень с положительным коэффициентом даёт параболу. Отрицательный нечётный показатель даёт нечётную функцию, график которой — гипербола.

Ответ

✓ dzmen.ru

парабола с вершиной , , чётная, убывает на , возрастает на .
гипербола в I и III четвертях, , нечётная, убывает на каждом промежутке области определения.

№ Показательная функция, график и свойства

Постройте графики функций и опишите их основные свойства

$y = 3^{x}$
$y = (\frac{1}{3})^{x}$

Решение

Таблица значений:

x	-	-

. , основание :

, .
Функция возрастает на всей области определения.
Нулей нет, при всех . График проходит через .
Ось — горизонтальная асимптота при .
Функция ни чётная, ни нечётная.

. , основание :

, .
Функция убывает на всей области определения.
Нулей нет, при всех . График проходит через .
Ось — горизонтальная асимптота при .
Функция ни чётная, ни нечётная.

Графики симметричны друг другу относительно оси , так как .

💡 Почему так

При основании больше показательная функция возрастает, при основании от до — убывает. Область значений в обоих случаях .

Ответ

✓ dzmen.ru

: , , возрастает, проходит через .
: , , убывает, проходит через . Графики симметричны относительно .

№ Вычисление выражений со степенями

Найдите значения выражений

$\frac{7 ( m ^{5} ) ^{6} + 11 ( m ^{3} ) ^{10}}{( 3 m ^{15} ) ^{2}}$
$\frac{( 3 7 a ^{2} ) ^{6}}{a ^{4}}$ , $a \neq = 0$
$\frac{6 n ^{\frac{1}{3}}}{n ^{\frac{1}{12}} n ^{\frac{1}{4}}}$ , $n > 0$

Решение

Показатели корня во -м и дроби в числителе -го плохо различимы на фото. Читаю их как и .

. В знаменателе показатели складываем:

💡 Почему так

Используем свойства , , .

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Вычисление значений логарифмических выражений

Найдите значения выражений:

$(lo g_{2} 16) (lo g_{6} 36)$
$7 \cdot 5^{l o g_{5} 4}$
$3 6^{l o g_{6} 5}$
$lo g_{0, 25} 2$
$lo g_{5} 60 - lo g_{5} 12$
$lo g_{0, 5} 0, 2 + lo g_{0, 5} 4$
$\frac{lo g _{7} 13}{lo g _{49} 13}$
$lo g_{613} 13$
$\frac{lo g _{3} 5}{lo g _{3} 7} + lo g_{7} 0, 2$

Решение

. , , поэтому .

. , поэтому .

. .

. , поэтому

. .

. , поэтому

💡 Почему так

Использованы свойства: , , сумма и разность логарифмов, формула перехода к новому основанию.

Ответ

✓ dzmen.ru

(то есть )

№ Область определения логарифмической функции

Найдите область определения функции

$y = lo g_{2} (3 x + 4)$
$y = lo g_{2 x} (3 x + 4)$
$y = lo g_{2} (x^{2} - 4)$

Решение

Видны три функции, на фото нижний край обрезан.

. Выражение под логарифмом положительно:

. Нужны одновременно: основание положительно и не равно , выражение под логарифмом положительно.

💡 Почему так

Для нужно , , .

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Постройте графики функций и опишите их основные свойства: 1. y=2x² 2. y=2x⁻³