Постройте фигуру симметричную данному… (геометрия)

№ Центральная симметрия

Постройте фигуру симметричную данному прямоугольнику относительно заданного центра: 1В — треугольник, 2В — прямоугольник.

Решение

Чертёж В (O — центр симметрии, координаты выбраны для примера):

Чертёж В:

Построение (одинаково для обеих фигур):

Через каждую вершину проводим прямую, проходящую через центр O.
На продолжении за точкой O откладываем отрезок, равный расстоянию от вершины до O: , , (для прямоугольника — для всех четырёх вершин).
Соединяем полученные точки в том же порядке. Получаем фигуру, равную данной и повёрнутую на вокруг O.

💡 Почему так

При симметрии относительно точки O каждая точка переходит в точку, лежащую на той же прямой с O по другую сторону на том же расстоянии, то есть O — середина отрезка между точкой и её образом.

Ответ

В — треугольник , симметричный относительно O. В — прямоугольник , симметричный относительно O.

№ Осевая симметрия

Постройте фигуру симметричную данной относительно заданной оси: 1В — трапеция, 2В — параллелограмм.

Решение

На фото слева параллелограмм, справа трапеция. Ниже построены обе фигуры, ось — прямая .

Параллелограмм:

Трапеция:

Построение для каждой вершины:

Опускаем из вершины перпендикуляр на ось .
Продлеваем его за ось и откладываем такой же отрезок. Получаем точку, симметричную вершине.
Соединяем построенные точки в том же порядке.

💡 Почему так

Две точки симметричны относительно прямой, если эта прямая перпендикулярна отрезку между ними и делит его пополам. Осевая симметрия сохраняет длины и углы, поэтому образ параллелограмма — параллелограмм, образ трапеции — трапеция.

Ответ

Построены фигуры, симметричные относительно оси: трапеция и параллелограмм . Их вершины лежат на перпендикулярах к оси на тех же расстояниях от неё.

№ Медиана и параллелограмм

В $△ A B C$ медиана $A M$ продолжена за точку $M$ на расстояние, равное $A M$ . Найдите расстояние от полученной точки до вершин $B$ и $C$ , если $A B$ : 1В = 6, 2В = 3, $A C$ : 1В = 4, 2В = 7.

Решение

Чертёж:

Пусть — полученная точка, . Тогда диагонали и четырёхугольника делятся точкой пополам ( как у медианы, по условию). Значит, — параллелограмм, и , .

В: , .

💡 Почему так

Четырёхугольник, диагонали которого делятся точкой пересечения пополам, — параллелограмм, а его противоположные стороны равны.

Ответ

В: , .
В: , .

№ Медиана и угол

В $△ A B C$ медиана $B M$ в два раза меньше стороны $A B$ и образует с ней угол 1В = $6 0^{\circ}$ , 2В = $3 5^{\circ}$ . Найдите $∠ A B C$ .

Решение

Чертёж:

Продлим за точку на отрезок . Диагонали и делятся точкой пополам, значит, — параллелограмм. Тогда , и равнобедренный с углом при вершине .

Углы при основании: .

Так как , накрест лежащие углы равны: .

В: , .

💡 Почему так

Достроение треугольника до параллелограмма удвоением медианы переносит задачу в равнобедренный треугольник .

Ответ

В: .
В: .

№ Длина медианы

В треугольнике $A B C$ даны длины сторон: $A C$ : 1В = 9, 2В = 25, $B C$ : 1В = 4, 2В = 2, $∠ A C B = 6 0^{\circ}$ . Вычислите длину медианы $C M$ .

Решение

Чертёж:

Продлим за на . Тогда — параллелограмм, , а угол при вершине параллелограмма равен .

По теореме косинусов в (где , , ):

В: , , .

Проверка по формуле медианы для В: , . Результат совпал.

💡 Почему так

Удвоив медиану, достраиваем треугольник до параллелограмма. Длину его диагонали находим по теореме косинусов. В записи условия «BC В = » прочитано как : В = .

Ответ

В: .
В: .

Помогло?

Постройте фигуру симметричную данному прямоугольнику относительно заданного…