Построить сечение тетраэдра (треугольной пирамиды) DABC плоскостью, проходящей…

Построение сечения тетраэдра плоскостью :

1. Точки и лежат в плоскости грани , так как , а . Проводим прямую .

2. Прямая пересекает ребро пирамиды в точке :
   

   
   Отрезок (или линия пересечения с гранью ) лежит в секущей плоскости.

3. Точки и лежат в плоскости грани , так как , а . Проводим прямую .

4. Прямая пересекает ребро пирамиды в некоторой точке (или ребро в точке , если лежит на прямой ). Так как лежит на продолжении , а принадлежит грани и грани , прямая пересекает в точке . Точка лежит на прямой , то есть на прямой грани и . Следовательно, точка принадлежит секущей плоскости, поскольку прямая лежит в плоскости сечения и проходит через (по условию лежит на прямой , лежит на прямой , прямая лежит в плоскости , содержащей ребро и ).
   Однако на чертеже прямая пересекает грань :

• прямая пересекает ребро в точке ;
• прямая пересекает ребро или проходит через продолжение; прямая пересекает грань : пересекает ребро в точке ;
• соединяем точки пересечения на гранях: отрезок на грани (прямая соединяет точки и );
• отрезок на грани ;
• отрезок, соединяющий и точку пересечения прямой с ребром .

В зависимости от исходного расположения точек на чертеже:

• Прямая : точка лежит на продолжении за точку , следовательно, прямая — это прямая . Значит, плоскость сечения проходит через прямую и точку , лежащую на , то есть через всю плоскость грани .
• Если точка лежит в плоскости основания :

1. Находим след секущей плоскости в грани : прямая пересекает ребро в точке .
2. В грани : прямая пересекает ребро в точке .
3. В грани : соединяем точки и , получаем отрезок .
4. В грани : соединяем точки на рёбрах (или ) и , замыкая сечение.

Искомым сечением является многоугольник, полученный пересечением секущей плоскости с гранями тетраэдра.