Построить сечение, определённое точками P, N, M. (Три рисунка: тетраэдр DABC с точками P на AD, M на DC, N на BC; куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с точками M на AB, N на BC, P на CC₁; тетраэдр DABC с точками M на DA, N на DC, P на AB.)
Положение точек на рёбрах определено по рисункам. Сечение строим методом следов: продлеваем прямую в грани до пересечения с прямой в плоскости соседней грани.
Рисунок
- P и M лежат в грани ADC. Проводим прямую PM и продлеваем её до пересечения с прямой AC. Получаем точку X = PM ∩ AC.
- X и N лежат в плоскости основания ABC. Проводим прямую XN. Она пересекает ребро AB в точке Q.
- Соединяем P, M, N, Q. Стороны сечения: PM (грань ADC), MN (грань DBC), NQ (грань ABC), QP (грань ABD).
Сечение — четырёхугольник PMNQ.
Рисунок
- M, N лежат в плоскости основания ABCD. Прямая MN пересекает прямую DC в точке Y за вершиной C.
- Y и P лежат в плоскости грани DCC₁D₁. Прямая YP пересекает ребро C₁D₁ в точке T.
- Плоскости верхнего и нижнего оснований параллельны, поэтому через T проводим TR
MN. Точка R лежит на A₁D₁. - Грани BCC₁B₁ и ADD₁A₁ параллельны, поэтому через R проводим RS
NP. Точка S лежит на AA₁. - Соединяем S с M (грань ABB₁A₁).
Сечение — шестиугольник MNPTRS. Стороны лежат в гранях: MN — ABCD, NP — BCC₁B₁, PT — DCC₁D₁, TR — A₁B₁C₁D₁, RS — ADD₁A₁, SM — ABB₁A₁.
Рисунок
- M и N лежат в грани ADC. Прямая MN пересекает прямую AC в точке X.
- X и P лежат в плоскости основания ABC. Прямая XP пересекает ребро BC в точке Q.
- Соединяем M, N, Q, P. Стороны сечения: MN (грань ADC), NQ (грань DBC), QP (грань ABC), PM (грань ABD).
Сечение — четырёхугольник MNQP.
Сечение строят по точкам, лежащим в одной грани. Прямую в грани продлевают до пересечения с прямой в плоскости соседней грани, так находят новые точки на рёбрах. В кубе противоположные грани параллельны, поэтому стороны сечения в них параллельны.
- Четырёхугольник PMNQ, где Q = AB ∩ XN, а X = PM ∩ AC.
- Шестиугольник MNPTRS: T ∈ C₁D₁, R ∈ A₁D₁, S ∈ AA₁.
- Четырёхугольник MNQP, где Q = BC ∩ XP, а X = MN ∩ AC.
