Пользуясь данным рисунком, назовите: а) плоскости, содержащие прямую DE; б) прямую, по которой пересекаются плоскости AEF и SBC; в) плоскость, которую пересекает прямая SB.
На рисунке D лежит на ребре SA, E — на ребре SC, F — на ребре BC.
а) Точки D и E лежат на рёбрах SA и SC, значит, прямая DE лежит в плоскости ASC. Эта же плоскость называется DEC. Через прямую DE и точку F, не лежащую в плоскости ASC, проходит ещё плоскость DEF.
б) Точка E лежит на SC, поэтому E принадлежит и плоскости SBC, и плоскости AEF. Точка F лежит на BC, поэтому F тоже принадлежит обеим плоскостям. Две общие точки E и F задают прямую пересечения — прямую EF.
в) Прямая SB лежит в плоскости SBC. Плоскости SBC и AEF пересекаются по прямой EF. Прямые SB и EF лежат в одной плоскости SBC и не параллельны, значит, они пересекаются. Точка пересечения лежит в плоскости AEF, а сама прямая SB в этой плоскости не лежит. Следовательно, SB пересекает плоскость AEF.
Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в этой плоскости. Две различные плоскости с общей точкой пересекаются по прямой.
а) плоскости ASC (она же DEC) и DEF;
б) прямая EF;
в) плоскость AEF.
Прямые a, b и c имеют общую точку. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
Нет, неверно. Две пересекающиеся прямые a и b задают ровно одну плоскость α. Третья прямая c проходит через ту же точку O, но может не лежать в α. Пример: три ребра куба, выходящие из одной вершины, имеют общую точку. Они не лежат в одной плоскости, потому что каждая пара задаёт свою грань.
Значит, утверждение верно только в частном случае, когда c лежит в плоскости α.
Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость, а третья прямая через их точку пересечения не обязана в ней лежать.
Нет, не верно. Контрпример: три ребра куба, выходящие из одной вершины.
Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Прямая a лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение прямых a и c? Ответ объясните.
Прямая a пересекает плоскость β в некоторой точке M. Так как a лежит в α, то M принадлежит α. Значит, M лежит и в α, и в β, то есть на их линии пересечения — прямой c.
Тогда прямые a и c лежат в одной плоскости α и имеют общую точку M. При этом a не совпадает с c, потому что a не лежит в β, а c лежит в β.
Следовательно, прямые a и c пересекаются.
Общая точка плоскостей α и β всегда лежит на прямой их пересечения c.
Прямые a и c пересекаются в точке M — точке пересечения a с плоскостью β.
