Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что… (геометрия)

№ (А)Пересекающиеся прямые и плоскость

⚠️

Не решено задание ❶ на стр. (вверху): его начало и рисунок обрезаны, видны только пункты а)–в). Чтобы его решить, пришлите фото верхней части страницы покрупнее. Левые столбцы относятся к варианту А, правые к варианту А, решены оба.

Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

Решение

Пусть даны прямые .

Прямые , , лежат в плоскости .
Прямые и пересекаются, поэтому через них проходит ровно одна плоскость. Значит, это плоскость .
Прямые , , тоже лежат в одной плоскости. Она содержит пересекающиеся прямые и , поэтому совпадает с .
Следовательно, , и все четыре прямые лежат в .

💡 Почему так

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Ответ

Верно.

№ (А)Три плоскости с общей точкой

Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли, что данные плоскости имеют общую прямую? Ответ объясните.

Решение

Возьмём три координатные плоскости , , . Общая точка у них есть: начало координат .
Плоскости и пересекаются по оси . Эта ось пересекает плоскость только в точке .
Значит, общей прямой у трёх плоскостей нет.

💡 Почему так

Три плоскости могут пересекаться в одной точке. Общая прямая есть лишь в частном случае, например когда все три плоскости проходят через одну прямую.

Ответ

Неверно: общей может быть одна точка.

№ (А)Точки на линии пересечения плоскостей

Вершина $C$ плоского четырёхугольника $A B C D$ лежит в плоскости $α$ , а точки $A$ , $B$ и $D$ не лежат в этой плоскости. Прямые $A B$ и $A D$ пересекают плоскость $α$ в точках $B_{1}$ и $D_{1}$ соответственно. Каково взаимное расположение точек $C$ , $B_{1}$ и $D_{1}$ ? Ответ объясните.

Решение

Плоскость четырёхугольника не совпадает с , так как .
Точка лежит в обеих плоскостях.
, а , поэтому . Кроме того, .
Так же и .
Две различные плоскости, имеющие общие точки, пересекаются по прямой. Значит, , , лежат на прямой .

💡 Почему так

Если у двух различных плоскостей есть общая точка, то у них есть общая прямая, и все общие точки лежат на ней.

Ответ

Точки , , лежат на одной прямой.

№ (А)Точки на линии пересечения плоскостей

Точка $D$ не лежит в плоскости $α$ . Прямые $a$ и $b$ проходят через точку $D$ и пересекают плоскость $α$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Прямая $l$ не проходит через точку $D$ , пересекается с $a$ и $b$ и пересекает плоскость $α$ в точке $L$ . Каково взаимное расположение точек $A$ , $B$ и $L$ ? Ответ объясните.

Решение

Прямые и пересекаются в точке , поэтому они задают плоскость .
Прямая пересекает и в двух разных точках, отличных от . Обе эти точки лежат в , поэтому и .
Точки и тоже лежат в .
Плоскости и различны, так как , . Точки , , принадлежат обеим плоскостям, значит, лежат на прямой .

💡 Почему так

Все общие точки двух различных плоскостей лежат на одной прямой.

Ответ

Точки , , лежат на одной прямой.

№ (стр. )Построение точек и линии пересечения в кубе

По данным рисунка постройте:
а) точки пересечения
А1: прямой $M N$ с плоскостью $A A_{1} B_{1}$ и прямой $A_{1} N$ с плоскостью $C D D_{1}$ ;
А2: прямой $M N$ с плоскостью $C C_{1} D_{1}$ и прямой $C_{1} M$ с плоскостью $A B B_{1}$ ;
б) линию пересечения
А1: плоскости $C_{1} M N$ с плоскостью $B B_{1} C_{1}$ ;
А2: плоскости $A_{1} M N$ с плоскостью $D A A_{1}$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости основания .

Вариант А.
а) Прямая лежит в плоскости основания, а плоскость пересекает основание по прямой . Поэтому точка является искомой.
Прямая лежит в плоскости , так как и лежат в ней. Эта плоскость пересекает плоскость по прямой . Значит, .
б) Точки и лежат в плоскости , так как . Обе точки принадлежат и плоскости . Следовательно, линия пересечения — прямая .

Вариант А.
а) Плоскость пересекает основание по прямой . Искомая точка: .
Прямая лежит в плоскости . Эта плоскость пересекает плоскость по прямой . Искомая точка: .
б) Точки и лежат в плоскости () и в плоскости . Линия пересечения — прямая .

💡 Почему так

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, надо взять вспомогательную плоскость через эту прямую и найти её линию пересечения с данной плоскостью.

Ответ

А: а) и ; б) прямая .
А: а) и ; б) прямая .

№ (стр. )Точка пересечения прямой и плоскости

На данном рисунке плоскость $α$ содержит точки $A$ , $B$ , $C$ и $D$ , но не содержит точку $M$ .
а) Постройте точку $K$ — точку пересечения
А1: прямой $A B$ и плоскости $M C D$ ;
А2: прямой $C D$ и плоскости $M A B$ .
б) Лежит ли точка $K$ в плоскости $α$ ? Ответ объясните.

Решение

А.
а) Плоскость пересекает по прямой , так как и лежат в обеих плоскостях. Проведём в прямую и найдём . Точка лежит на и на прямой , поэтому это и есть .
б) и , поэтому .

А.
а) Плоскость пересекает по прямой . Проведём в прямую и найдём .
б) , значит, .

💡 Почему так

Прямая лежит в , поэтому все её точки принадлежат .

Ответ

а) (в обоих вариантах это одна и та же точка, построенная в плоскости ).
б) Да, .

№ (А)Ошибка на рисунке с плоскостями

На данном рисунке $A \in α$ , $B \in β$ , $C \in l$ . В чём ошибка данного рисунка? Дайте объяснение.

Решение

На рисунке , а точка лежит на и на отрезке .

Точки и лежат в плоскости , поэтому вся прямая лежит в .
Точка лежит на прямой , значит, .
Но , поэтому должна лежать на .
На рисунке не лежит на — это противоречие.

💡 Почему так

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Ответ

Точка должна лежать на прямой . Рисунок невозможен, потому что прямая целиком лежит в плоскости .

№ (А)Ошибка на рисунке с плоскостью и точкой D

На данном рисунке точки $A$ , $B$ и $C$ лежат в плоскости $α$ , $K \in A D$ , $M \in B D$ , $N \in C D$ . В чём ошибка данного рисунка? Дайте объяснение.

Решение

На рисунке точки , , лежат на одной прямой, причём лежит на отрезке . Покажем, что так быть не может.

Прямая лежит в плоскости , так как и .
Если , то .
Но , а прямая пересекает плоскость только в точке , потому что . Значит, .
Это противоречит рисунку, где .

💡 Почему так

Точки на трёх разных рёбрах , , , не совпадающие с , не могут лежать на одной прямой.

Ответ

Точки , , не могут лежать на одной прямой: тогда оказалась бы в плоскости и совпала бы с .

Помогло?

Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них…