Докажите, что через две скрещивающиеся прямые a и… (геометрия)

ЗадачаДве параллельные плоскости через скрещивающиеся прямые

Докажите, что через две скрещивающиеся прямые $a$ и $b$ можно провести две параллельные плоскости $α$ и $β$ ( $a \subset α$ , $b \subset β$ ), и притом такая пара плоскостей — единственная.

Решение

Существование.

Возьмём на прямой точку и проведём через неё прямую . Прямые и пересекаются в точке , поэтому через них проходит плоскость .
Возьмём на прямой точку и проведём через неё прямую . Прямые и пересекаются в точке , поэтому через них проходит плоскость .
В плоскости лежат пересекающиеся прямые и , а в плоскости — пересекающиеся прямые и . При этом и .
По признаку параллельности плоскостей . При этом , .

Единственность.

Пусть есть другая пара параллельных плоскостей , где , .
Проведём плоскость через точку и прямую . Она пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (свойство ). Прямая пересечения с — это . Значит, прямая пересечения с проходит через и параллельна . Такая прямая одна, это , поэтому .
Итак, содержит пересекающиеся прямые и , значит .
Плоскость проходит через и параллельна . По свойству через точку проходит единственная плоскость, параллельная . Значит, .

Пара плоскостей единственна.

Ответ

Плоскость строится по прямым и (, ), плоскость — по прямым и (, ). По признаку , и такая пара единственна. Утверждение доказано.

Проверь себя –Вопросы на верно/неверно о прямых и плоскостях

Могут ли прямая и плоскость не иметь общих точек?
Верно ли, что если две прямые не пересекаются, то они параллельны?
Плоскости $α$ и $β$ параллельны, прямая $m$ лежит в плоскости $α$ . Верно ли, что прямая $m$ параллельна плоскости $β$ ?
Верно ли, что если прямая $a$ параллельна одной из двух параллельных плоскостей, с другой плоскостью прямая $a$ имеет только одну общую точку?
Верно ли, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости?
Верно ли, что линия пересечения двух плоскостей параллельна одной из этих плоскостей?

Решение

Да. Такая прямая и плоскость называются параллельными.
Нет. В пространстве непересекающиеся прямые могут быть скрещивающимися (не лежат в одной плоскости).
Да. Плоскости и не имеют общих точек, поэтому и прямая не имеет с общих точек.
Нет. Если и , то либо параллельна , либо лежит в . Ровно одной общей точки быть не может: иначе пересекала бы и .
Нет. Две плоскости могут пересекаться, а прямая одной из них — быть параллельной линии пересечения и потому параллельной другой плоскости. Условие достаточно, только если в первой плоскости лежат две пересекающиеся прямые, параллельные второй плоскости.
Нет. Линия пересечения лежит в обеих плоскостях, то есть имеет с ними общие точки, значит, параллельной ни одной из них быть не может.

💡 Почему так

Прямая параллельна плоскости, если у них нет общих точек. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной параллельны двум пересекающимся прямым другой.

Ответ

да;
нет;
да;
нет;
нет;
нет

Рис.Параллельность плоскостей (призма)

Дано: $A A_{1} ∥ B B_{1} ∥ C C_{1}$ , $A A_{1} = B B_{1} = C C_{1}$ . Доказать: параллельность плоскостей $(A B C)$ и $(A_{1} B_{1} C_{1})$ .

Решение

Четырёхугольник : и , значит, он параллелограмм. Поэтому .
Четырёхугольник : и , значит, он параллелограмм. Поэтому .
Прямые и пересекаются и лежат в плоскости . Они параллельны прямым и , которые пересекаются и лежат в плоскости .
По признаку параллельности плоскостей .

Ответ

, что и требовалось доказать.

Рис.Параллельность плоскостей (параллелограммы)

Дано: $A A_{1} C_{1} B$ и $C C_{1} B_{1} B$ — параллелограммы. Доказать: параллельность плоскостей $(A B C)$ и $(A_{1} B_{1} C_{1})$ .

Решение

— параллелограмм, его противоположные стороны и параллельны: .
— параллелограмм, его противоположные стороны и параллельны: .
Пересекающиеся прямые и плоскости параллельны пересекающимся прямым и плоскости .
По признаку параллельности плоскостей .

Ответ

, что и требовалось доказать.

Рис.Параллельность плоскостей (куб)

Дано: $A B_{1} D C_{1} D_{1} B A_{1} C$ — куб. Доказать: параллельность плоскостей $(A B C)$ и $(A_{1} B_{1} C_{1})$ .

Решение

Нижняя грань куба — , верхняя — . Рёбра , , , боковые.

Боковые рёбра и параллельны и равны, значит, — параллелограмм. Поэтому .
Рёбра и — противоположные стороны нижней грани, поэтому и . Ребро верхней грани параллельно и равно (параллельный перенос на боковое ребро). Тогда и , значит, — параллелограмм. Поэтому .
Пересекающиеся прямые и плоскости параллельны пересекающимся прямым и плоскости .
По признаку параллельности плоскостей .

Ответ

, что и требовалось доказать.

Помогло?

Докажите, что через две скрещивающиеся прямые a и b можно провести две…