Пользуясь данным рисунком, назовите: а) плоскости, содержащие прямую EF; б) прямую, по которой пересекаются плоскости BDE и SAC; в) плоскость, которую пересекает прямая AC.
а) Точка E лежит на SC, точка F лежит на BC, значит обе точки лежат в плоскости SBC. Поэтому прямая EF лежит в плоскости SBC. Точка D не лежит на прямой EF, поэтому через EF и D проходит ещё плоскость DEF.
б) Точки D и E лежат на рёбрах SA и SC, то есть обе лежат в плоскости SAC. Они же лежат в плоскости BDE. Две общие точки задают общую прямую, поэтому плоскости пересекаются по прямой DE.
в) Прямая AC лежит в плоскости SAC. В этой плоскости она пересекает прямую DE, а DE лежит в плоскости BDE. Значит, AC пересекает плоскость BDE в точке пересечения прямых AC и DE.
а) SBC и DEF
б) прямая DE
в) плоскость BDE
Прямые a, b и c попарно пересекаются. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.
Рассмотрим два случая.
-
Прямые не проходят через одну точку. Пусть a и b пересекаются в точке M. Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость α. Прямая c пересекает a и b в двух разных точках. Эти две точки лежат в α, значит, и вся прямая c лежит в α. Все три прямые лежат в одной плоскости.
-
Прямые проходят через одну точку. Тогда они могут не лежать в одной плоскости. Пример: три ребра куба, выходящие из одной вершины. Они попарно пересекаются, но не лежат в одной плоскости.
Через две пересекающиеся прямые проходит ровно одна плоскость. Если прямая имеет с плоскостью две общие точки, она лежит в этой плоскости.
Не всегда. Если прямые не проходят через одну точку, то они лежат в одной плоскости. Если все три прямые проходят через одну точку, они могут не лежать в одной плоскости.
Плоскости α и β пересекаются по прямой c. Прямая a лежит в плоскости α и пересекает прямую c. Каково взаимное расположение прямой a и плоскости β? Ответ объясните.
Пусть M — точка пересечения a и c. Точка M лежит на c, а c лежит в β, поэтому M лежит в β. Значит, у прямой a и плоскости β есть общая точка M.
Прямая a не лежит в β. Иначе a лежала бы и в α, и в β, то есть была бы их линией пересечения, то есть совпадала бы с c. Но a пересекает c, а не совпадает с ней.
Итак, у a и β ровно одна общая точка M.
Прямая a пересекает плоскость β в точке M, где M — точка пересечения a и c.
