Отрезок в 36 см разделён на четыре не равные друг другу части.…

Пусть части отрезка равны , , , по порядку. Тогда

Расстояние между серединами крайних частей:

Вычтем это равенство из первого:

Тогда

Расстояние между серединами средних частей равно

Расположим прямую как числовую ось с началом в точке : пусть имеет координату , — координату .

Тогда имеет координату , — координату .

Длины отрезков:

Отсюда . Это верно при любом расположении точек на прямой.

Возможны два случая расположения лучей.

Случай . Луч лежит внутри угла (лучи и по разные стороны от ):

Случай . Лучи и лежат по одну сторону от , луч — внутри угла :

Случай . Лучи и лежат по одну сторону от луча (луч внутри угла ):

Случай . Лучи и лежат по разные стороны от луча :

Вместе углы и занимают , что больше . Поэтому искомый угол равен

Сумма смежных углов равна .

а) Пусть меньший угол равен , тогда другой равен :

Второй угол: .

б) Пусть меньший угол равен , тогда другой равен :

Второй угол: .

Пусть , смежный с ним . Тогда — биссектриса угла , — биссектриса угла .

Угол между биссектрисами:

Прямые и пересекаются в точке . Углы и вертикальные, — биссектриса угла , — биссектриса угла .

Вертикальные углы равны: . Поэтому

Угол смежный с углом :

Угол , содержащий лучи и :

Угол развёрнутый, значит и — дополнительные лучи, то есть лежат на одной прямой.

Пусть — биссектриса угла , — биссектриса угла . Углы и имеют общую сторону , поэтому

По условию , откуда

Углы и имеют общую сторону и в сумме дают , поэтому лучи и дополняют друг друга до прямой. Значит, точки , и лежат на одной прямой.

Предположим противное: прямые и совпадают. Тогда эта одна прямая перпендикулярна и прямой , и прямой .

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны, значит . Это противоречит условию: прямые и пересекаются.

Следовательно, предположение неверно, и прямые и не совпадают.