Точки A, B и C лежат на одной прямой, точки M и… (геометрия)

№ *Середины отрезков на прямой

Точки $A$ , $B$ и $C$ лежат на одной прямой, точки $M$ и $N$ — середины отрезков $A B$ и $A C$ . Докажите, что $B C = 2 M N$ .

Решение

Введём на прямой координату, пусть точки , , имеют координаты , , . Расположение точек может быть любым, поэтому длины берём по модулю.

Середины отрезков имеют координаты:

Найдём :

Следовательно, .

💡 Почему так

Длина отрезка на прямой равна модулю разности координат его концов. Доказательство верно при любом порядке точек.

Ответ

доказано.

№

Угол AOC при заданных AOB и BOC

Известно, что $∠ A O B = 3 5^{\circ}$ , $∠ B O C = 5 0^{\circ}$ . Найдите угол $A O C$ . Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж с помощью линейки и транспортира.

Решение

Возможны два случая.

) Луч лежит между лучами и .

) Лучи и лежат по одну сторону от . Тогда меньший угол лежит внутри большего.

💡 Почему так

Если луч делит угол на два, то величина угла равна сумме его частей. Если же лучи расположены по одну сторону от общей стороны, углы вычитаются.

Ответ

или .

№

Угол km при заданных hk и hm

Угол $hk$ равен $12 0^{\circ}$ , а угол $hm$ равен $15 0^{\circ}$ . Найдите угол $k m$ . Для каждого из возможных случаев сделайте чертёж.

Решение

Возможны два случая.

) Лучи и лежат по одну сторону от луча .

) Лучи и лежат по разные стороны от луча .

Сумма , поэтому угол дополняет её до полного угла:

💡 Почему так

Угол между лучами не больше , поэтому если сумма больше , берём минус эта сумма.

Ответ

или .

№

Смежные углы

Найдите смежные углы, если:
а) один из них на $4 5^{\circ}$ больше другого;
б) их разность равна $3 5^{\circ}$ .

Решение

Сумма смежных углов равна .

а) Пусть меньший угол равен , тогда другой равен .

Второй угол:

б) Пусть углы равны и , причём .

Сложим уравнения:

Тогда

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна .

Ответ

а) и ;
б) и .

№

Биссектрисы смежных углов

Найдите угол, образованный биссектрисами двух смежных углов.

Решение

Пусть , тогда смежный с ним . — биссектриса угла , — биссектриса угла .

Угол между биссектрисами:

💡 Почему так

Биссектрисы делят каждый из смежных углов пополам, а сумма смежных углов равна , поэтому половины дают .

Ответ

№

Биссектрисы вертикальных углов

Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Решение

Пусть прямые и пересекаются в точке , — вертикальные углы. — биссектриса угла , — биссектриса угла .

Тогда , .

Углы и смежные, поэтому .

Луч лежит внутри угла , поэтому

Углы и имеют общую сторону , а лучи и лежат по разные стороны от неё. Сумма этих углов:

Значит, и — дополнительные лучи одной прямой, то есть биссектрисы лежат на одной прямой.

💡 Почему так

Если сумма двух углов с общей стороной равна , то их внешние стороны образуют одну прямую.

Ответ

Доказано: и образуют одну прямую.

№ *Биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны

Докажите, что если биссектрисы углов $A B C$ и $C B D$ перпендикулярны, то точки $A$ , $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Решение

Углы и имеют общую сторону . Пусть — биссектриса угла , — биссектриса угла , причём .

Луч лежит между и , поэтому

Отсюда

Углы и смежные: сумма равна , общая сторона . Значит, лучи и дополняют друг друга до прямой, и точки , , лежат на одной прямой.

💡 Почему так

Если два угла с общей стороной в сумме дают , то две другие их стороны лежат на одной прямой.

Ответ

Доказано: точки , , лежат на одной прямой.

№

Перпендикуляры к пересекающимся прямым

Даны две пересекающиеся прямые $a$ и $b$ и точка $A$ , не лежащая на этих прямых. Через точку $A$ проведены прямые $m$ и $n$ так, что $m ⊥ a$ , $n ⊥ b$ . Докажите, что прямые $m$ и $n$ не совпадают.

Решение

Докажем от противного. Предположим, что прямые и совпадают. Тогда эта прямая перпендикулярна и , и .

Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (при пересечении третьей прямой накрест лежащие углы равны ). Значит, .

Но по условию и пересекаются. Получили противоречие, поэтому предположение неверно.

Следовательно, прямые и не совпадают.

💡 Почему так

Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, а параллельные прямые не пересекаются.

Ответ

Доказано: и не совпадают.

Помогло?