На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка… (геометрия)

№ Подобие треугольников в параллелограмме, плоскость параллельна диагонали

На стороне $B C$ параллелограмма $A B C D$ выбрана точка $C_{1}$ так, что $C_{1} B = 3$ см. Плоскость, параллельная диагонали $A C$ , проходит через точку $C_{1}$ и пересекает сторону $A B$ в точке $A_{1}$ .
а) Докажите, что $△ A D C \sim △ C_{1} B A_{1}$ .
б) Найдите $A D$ , если $A_{1} C_{1} = 4$ см, $A C = 12$ см.

Решение

а) Плоскость параллельна и пересекает плоскость по прямой . Прямая лежит в плоскости и параллельна плоскости , поэтому .

Сравним углы треугольников и :

как противоположные углы параллелограмма.
как накрест лежащие при и секущей . Далее как соответственные при и секущей . Значит, .

Два угла треугольника равны двум углам треугольника , поэтому (по двум углам). Вершины соответствуют так: , , .

б) Из подобия сходственные стороны: , . Тогда

💡 Почему так

Плоскость, параллельная прямой, пересекает любую плоскость, содержащую эту прямую, по прямой, параллельной ей. Поэтому , и углы равны как соответственные и накрест лежащие.

Ответ

✓ dzmen.ru

б) см

№ Линия пересечения плоскостей SAB и SCD

Точка $S$ не лежит в плоскости параллелограмма $A B C D$ . Докажите, что линия пересечения плоскостей $S A B$ и $S C D$ параллельна плоскости параллелограмма.

Решение

Плоскости и имеют общую точку , значит, они пересекаются по прямой , проходящей через .

, так как — параллелограмм.
Прямая лежит в плоскости , поэтому параллельна плоскости (по признаку параллельности прямой и плоскости).
Плоскость содержит и пересекает плоскость по прямой . Значит, .
Прямая лежит в плоскости , а . Прямая не лежит в плоскости , потому что и .

По признаку параллельности прямой и плоскости .

💡 Почему так

Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту другую плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

Ответ

✓ dzmen.ru

Линия пересечения плоскостей и параллельна и не лежит в плоскости , значит, она параллельна плоскости параллелограмма. Что и требовалось доказать.

Помогло?

На стороне BC параллелограмма ABCD выбрана точка C₁ так, что C₁B =…