На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили… (геометрия)

№ Свойства параллелограмма, равенство треугольников

На диагонали $B D$ параллелограмма $A B C D$ отметили точки $E$ и $F$ так, что $∠ B C E = ∠ D A F$ (точка $E$ лежит между точками $B$ и $F$ ). Докажите, что $C E = A F$ .

Решение

Рассмотрим треугольники и .

как противоположные стороны параллелограмма.
как накрест лежащие углы при параллельных и секущей .
по условию.

Значит, по стороне и двум прилежащим углам (второй признак). В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны: лежит против , — против . Следовательно, .

Ответ

Доказано: , поэтому .

№ Биссектриса угла параллелограмма, периметр

В параллелограмме $A B C D$ биссектриса угла $A$ пересекает сторону $B C$ в точке $E$ . Отрезок $B E$ больше отрезка $E C$ в 3 раза. Найдите периметр параллелограмма, если $B C = 12$ см.

Решение

Так как и , то , см, см.

— биссектриса, поэтому . Так как , то (накрест лежащие). Значит, , и треугольник равнобедренный: см.

Периметр:

Ответ

см

№ Признак параллелограмма

Прямая проходит через середину диагонали $A C$ параллелограмма $A B C D$ и пересекает стороны $B C$ и $A D$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что четырёхугольник $A M C K$ — параллелограмм.

Решение

Пусть — середина диагонали , то есть . Прямая проходит через .

Рассмотрим треугольники и :

по условию.
как вертикальные.
как накрест лежащие при и секущей .

Значит, по стороне и двум прилежащим углам, откуда .

Итак, в четырёхугольнике диагонали и пересекаются в точке и делятся ею пополам. По признаку параллелограмма — параллелограмм.

Ответ

Доказано: диагонали и точкой делятся пополам, значит, — параллелограмм.

Помогло?

На диагонали BD параллелограмма ABCD отметили точки E и F так, что…