На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые… (геометрия)

№

Скрещивающиеся прямые в кубе

На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые:
а) $A A_{1}$ и $B_{1} C_{1}$ ;
б) $A_{1} D_{1}$ и $D C$ ;
в) $A C$ и $B D_{1}$ —
являются скрещивающимися.

Решение

Используем признак скрещивающихся прямых: если одна прямая лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

а) Прямая лежит в плоскости . Прямая пересекает эту плоскость в точке . Точка , так как (противоположные стороны квадрата ) и эти прямые не совпадают. По признаку скрещивающихся прямых и скрещиваются.

б) Прямая лежит в плоскости (грань ). Прямая пересекает эту плоскость в точке . Точка : прямые и пересекаются только в точке , а . По признаку и скрещиваются.

в) Прямая лежит в плоскости (основание ). Прямая пересекает эту плоскость в точке . Точка , так как — диагональ квадрата , а — его вершина, не лежащая на этой диагонали. По признаку и скрещиваются.

💡 Почему так

Две прямые скрещиваются, если не лежат в одной плоскости. Признак: прямая в плоскости и прямая, пересекающая плоскость в точке вне первой прямой.

Ответ

а) и : лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.
б) и : лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.
в) и : лежит в плоскости , пересекает её в точке — скрещиваются.

Помогло?

На рисунке изображен куб. Докажите, что прямые: а) AA₁ и B₁C₁; б)…