Докажите, что если в четырёхугольнике все углы прямые, то четырёхугольник …

Пусть в четырёхугольнике все углы прямые.

1. Углы и — односторонние при прямых и и секущей , и . Значит, .
2. Так же , поэтому .
3. Противоположные стороны попарно параллельны, значит, — параллелограмм.
4. У этого параллелограмма есть прямой угол, поэтому он прямоугольник.

Пусть биссектриса пересекает в точке . Так как и , то . Значит, равнобедренный и .

а) см. Возможны два случая.

• , тогда и см.
• , тогда и см.

б) Биссектриса пересекает в точке . Так как и , то . Здесь дм.

• , тогда и дм.
• , тогда и дм.

Диагонали прямоугольника равны, а точка пересечения делит каждую из них пополам. Значит, и .

1. В имеем , значит, он равнобедренный.
2. В имеем , значит, он равнобедренный.

1. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому см.
2. В прямоугольном угол , значит, катет лежит против угла : см.
3. см.
4. см.

Пусть в угол , а — медиана к гипотенузе . Нужно доказать, что .

1. На рисунке достроен прямоугольник (точка симметрична точке относительно ), а — центр симметрии. Диагонали прямоугольника — это и .
2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому .

Что и требовалось доказать.

На чертеже обозначения вершин другие: прямой угол в , гипотенуза не нарисована отдельно, а показывает половину диагонали.

Пусть в ромбе диагональ равна стороне, то есть .

а) равносторонний, значит, . Тогда и .

б) Диагонали ромба делят его углы пополам и перпендикулярны.

• Диагональ с каждой стороной образует угол , так как .
• Диагональ делит угол пополам, поэтому . С каждой стороной она образует угол .

Для наглядности выбран у вершины с углом .

1. (стороны ромба) и , значит, равносторонний.
2. см.
3. см.

Диагонали ромба делят его углы пополам.

1. Угол ромба , значит, диагональ образует со сторонами угол .
2. Другой угол ромба равен , и вторая диагональ образует со сторонами угол .
3. Проверка: , так как диагонали перпендикулярны.

Пусть — параллелограмм, — точка пересечения диагоналей, .

а) Пусть .

1. по двум катетам: , — общий, .
2. Значит, .
3. У параллелограмма равны смежные стороны, поэтому он ромб.

б) Пусть диагональ делит угол пополам: .

1. , значит, (накрест лежащие).
2. Тогда , и равнобедренный: .
3. Параллелограмм с равными смежными сторонами — ромб.

1. Ромб — параллелограмм, и у него есть прямой угол, поэтому он прямоугольник.
2. У ромба все стороны равны, значит, это прямоугольник с равными сторонами.
3. Прямоугольник, у которого все стороны равны, — квадрат.

а) Нет. Равные перпендикулярные диагонали могут пересекаться не в серединах. Например, диагонали лежат на осях координат, но пересекаются в точке, не делящей их пополам. Тогда четырёхугольник не параллелограмм, а значит, и не квадрат.

б) Нет. Если диагонали имеют общую середину, то четырёхугольник — параллелограмм. Если они ещё и перпендикулярны, то это ромб. Ромб не обязан быть квадратом, например ромб с углом .

в) Да. Общая середина диагоналей даёт параллелограмм. Равные диагонали делают его прямоугольником, а перпендикулярные диагонали делают его ромбом. Прямоугольник, являющийся ромбом, — квадрат.

Часть строки на фото закрыта пальцем, но условие читается однозначно.

Пусть в угол , — биссектриса, , (), ().

1. В четырёхугольнике противоположные стороны параллельны: и . Значит, это параллелограмм.
2. Угол , поэтому — прямоугольник.
3. Диагональ делит угол пополам, поэтому по задаче б) прямоугольник является ромбом. То есть .
4. Прямоугольник с равными смежными сторонами — квадрат.