Докажите, что если один из углов ромба прямой, то… (геометрия)

№

Ромб с прямым углом — квадрат

Докажите, что если один из углов ромба прямой, то этот ромб является квадратом.

Решение

Ромб — параллелограмм, а параллелограмм с одним прямым углом является прямоугольником. У прямоугольника все углы прямые. Так как это ромб, все его стороны равны. Значит, у этого четырёхугольника все углы прямые и все стороны равны, то есть это квадрат.

Ответ

Доказано: ромб с прямым углом — квадрат.

№

Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат

Докажите, что если две соседние стороны прямоугольника равны, то этот прямоугольник является квадратом.

Решение

Пусть в прямоугольнике равны соседние стороны: . У прямоугольника противоположные стороны равны: , . Поэтому . У прямоугольника все углы прямые и все стороны равны, значит, это квадрат.

Ответ

Доказано: такой прямоугольник — квадрат.

№

Диагонали квадрата

Диагональ $B D$ квадрата $A B C D$ равна 5 см. Какова длина диагонали $A C$ ? Чему равны углы треугольника $A O B$ , где точка $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата?

Решение

Диагонали квадрата равны, поэтому см.

Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому .

Диагонали квадрата делят его углы пополам, поэтому .

Ответ

см; в треугольнике углы , , .

№

Угол CAK в квадрате

На стороне $B C$ квадрата $A B C D$ (рис. 52) отметили точку $K$ так, что $∠ A K B = 7 4^{\circ}$ . Найдите $∠ C A K$ .

Решение

В треугольнике угол прямой, поэтому

Диагональ

делит угол

пополам,

. Тогда

Ответ

№

Угол KAD в квадрате

На стороне $B C$ квадрата $A B C D$ отметили точку $K$ так, что $A K = 2 B K$ . Найдите $∠ K A D$ .

Решение

Треугольник прямоугольный (), катет . Катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла , поэтому .

Так как , то

Ответ

№

Верно ли утверждение: квадрат, ромб, прямоугольник

Верно ли утверждение:

любой квадрат является параллелограммом;
любой ромб является квадратом;
любой прямоугольник является квадратом;
любой квадрат является прямоугольником;
любой квадрат является ромбом;
если диагонали четырёхугольника равны, то он является прямоугольником;
если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то он является ромбом;
существует ромб, который является прямоугольником;
существует квадрат, который не является ромбом;
если диагонали четырёхугольника не перпендикулярны, то он не является ромбом;
если диагонали параллелограмма не равны, то он не является прямоугольником;

Решение

Верно: у квадрата противоположные стороны параллельны.
Неверно: ромб с углом, не равным , не квадрат.
Неверно: прямоугольник с разными соседними сторонами не квадрат.
Верно: у квадрата все углы прямые.
Верно: у квадрата все стороны равны.
Неверно: диагонали равны, например, у равнобокой трапеции.
Неверно: диагонали перпендикулярны, например, у четырёхугольника-«воздушного змея» (дельтоида), который не ромб.
Верно: квадрат — и ромб, и прямоугольник.
Неверно: у любого квадрата все стороны равны, значит, он ромб.
Верно: у ромба диагонали перпендикулярны, поэтому если они не перпендикулярны, это не ромб.
Верно: у прямоугольника диагонали равны, поэтому если они не равны, это не прямоугольник.

Видна часть списка до пункта ; если на странице дальше есть пункты, на фото они не видны.

Ответ

верно;
неверно;
неверно;
верно;
верно;
неверно;
неверно;
верно;
неверно;
верно;
верно.

Помогло?

Докажите, что если один из углов ромба прямой, то этот ромб является…