№ Точка экстремума по графику производной
⚠️
Задание обрезано: виден только его конец, а график и начало условия не видны, поэтому оно не решено. Чтобы его решить, переснимите фото так, чтобы задание было целиком в кадре, ближе и крупнее.
На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (−4;8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2;6].
Решение
Точка экстремума — это точка, в которой производная меняет знак.
На отрезке график лежит выше оси до точки , где он пересекает ось. Правее график лежит ниже оси.
Значит, при производная меняет знак с «+» на «−». Других пересечений оси на нет.
Итак, — точка максимума, и это единственная точка экстремума на отрезке.
💡 Почему так
Если меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. Если только касается оси и знак не меняет, экстремума нет.
№ Промежутки возрастания по графику производной
На рисунке изображён график y=f′(x) — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1,x2,x3,…,x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Решение
Функция возрастает там, где , то есть где график производной лежит выше оси .
- В точках график ниже оси, значит и функция убывает.
- В точках график выше оси, значит и функция возрастает.
- В точках график ниже оси, значит и функция убывает.
Точки лежат на промежутках возрастания, всего их .
💡 Почему так
Знак производной определяет характер монотонности: — функция возрастает, — убывает.
№ Точка максимума функции
Найдите точку максимума функции y=ln(x+5)−2x+9.
Решение
Область определения: , то есть .
Находим производную:
Приравниваем её к нулю:
Определяем знаки производной:
- при имеем , поэтому и ;
- при имеем .
Производная меняет знак с «+» на «−», значит — точка максимума.
№ Наименьшее значение функции на отрезке
Найдите наименьшее значение функции y=15+12x+x3 на отрезке [−2;2].
Решение
Находим производную:
Так как при всех , функция возрастает на всей числовой прямой. Поэтому наименьшее значение на отрезке достигается в левом конце, при :
