На рёбрах AB, AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены… (геометрия)

№ .

Сечение куба плоскостью по трём точкам на рёбрах

На рёбрах $A B$ , $A D$ и $C C_{1}$ куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ отмечены соответственно точки $E$ , $F$ и $M$ (рис. 3.40). Постройте сечение куба плоскостью $E F M$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости основания . Проводим прямую . Она пересекает прямые и в точках и (на продолжениях за и за ).
Точки и лежат в плоскости грани . Проводим . Она пересекает ребро в точке .
Точки и лежат в плоскости грани . Проводим . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем последовательно точки, лежащие в одной грани: и (грань ), и (грань ), и (грань ), и (грань ), и (грань ).

💡 Почему так

Сечение строят по следам плоскости на гранях. Для этого находят точки пересечения секущей плоскости с рёбрами через вспомогательные точки на продолжениях рёбер.

Ответ

Сечение — пятиугольник , где , , , .

№ .

Сечение куба плоскостью EBF

На рёбрах $A A_{1}$ и $C C_{1}$ куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ отмечены соответственно точки $E$ и $F$ (рис. 3.41). Постройте сечение куба плоскостью $E B_{1} F$ .

Решение

Точки и лежат в грани , поэтому проводим .
Точки и лежат в грани , поэтому проводим .
Грани и параллельны. Плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Значит, в грани проводим через прямую, параллельную .
Грани и параллельны. Значит, в грани проводим через прямую, параллельную .
Эти две прямые пересекаются в точке на ребре . Соединяем с и с .

💡 Почему так

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения параллельны. Поэтому сечение — параллелограмм.

Ответ

Сечение — параллелограмм , где , , .

№ .

Сечение куба плоскостью EFK

На рёбрах $B B_{1}$ , $C C_{1}$ и $D D_{1}$ куба $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ отмечены соответственно точки $E$ , $F$ и $K$ (рис. 3.42). Постройте сечение куба плоскостью $E F K$ .

Решение

Точки и лежат в грани , поэтому проводим .
Точки и лежат в грани , поэтому проводим .
Грани и параллельны. Значит, в грани проводим через прямую, параллельную . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем с (грань ). Получаем .

💡 Почему так

Параллельные грани куба плоскость пересекает по параллельным отрезкам, поэтому сечение — параллелограмм.

Ответ

Сечение — параллелограмм , где , .

№ .

Сечение тетраэдра плоскостью MNK

На рёбрах $A B$ , $B C$ и $C D$ тетраэдра $D A B C$ отмечены соответственно точки $M$ , $K$ и $N$ (рис. 3.44). Постройте сечение тетраэдра плоскостью $M N K$ .

Решение

Точки и лежат в грани . Проводим прямую и находим точку (на продолжении за ).
Точки и лежат в грани . Проводим . Она пересекает ребро в точке .
Соединяем последовательно , , , (каждая пара лежит в одной грани): в грани , в грани , в грани , в грани .

💡 Почему так

Прямая и ребро лежат в одной плоскости грани , поэтому они пересекаются. Точка принадлежит и секущей плоскости, и плоскости .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

№ .

Линия пересечения плоскостей ABM и EFK в тетраэдре

На рёбрах $A C$ и $B D$ тетраэдра $D A B C$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ , а на ребре $C D$ — точки $M$ и $K$ так, что точка $K$ лежит между точками $C$ и $M$ (рис. 3.45). Постройте линию пересечения плоскостей $A B M$ и $E F K$ .

Решение

Нужно найти две общие точки плоскостей и .

В плоскости грани лежат прямые (плоскость ) и (плоскость ). Они пересекаются в точке . Эта точка принадлежит обеим плоскостям.
В плоскости грани лежат прямые (плоскость ) и (плоскость ). Они пересекаются в точке . Эта точка тоже принадлежит обеим плоскостям.
Проводим прямую .

💡 Почему так

Две различные плоскости пересекаются по прямой. Эту прямую задают две общие точки плоскостей.

Ответ

Линия пересечения — прямая , где , .

Помогло?

На рёбрах AB, AD и CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ отмечены соответственно точки E,…