На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён ромб. Найдите…

По рисунку определим длины диагоналей ромба, посчитав клетки:

• горизонтальная диагональ: клетки;
• вертикальная диагональ: клеток.

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей:

Проверим каждое утверждение:

1. По определению, трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны. Утверждение верно.
2. По неравенству треугольника, сумма любых двух сторон должна быть строго больше третьей стороны: . Такой треугольник не существует. Утверждение неверно.
3. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, а не параллельна ему. Утверждение неверно.

1. Найдём область допустимых значений (ОДЗ) уравнения:
   

2. При вычтем из обеих частей уравнения:
   

   
   

3. Решим полученное квадратное уравнение:
   

   
   
   
   

4. Проверим корни с учётом ОД ():

• — не удовлетворяет ОДЗ (посторонний корень);
• — корень уравнения.

1. Пусть скорость автомобиля на пути из А в Б равна км/ч ().
   Тогда скорость на обратном пути равна км/ч.

2. Время в пути из А в Б составляет:
   

    
   
   Время на обратный путь составляет:
   
    

3. Разница во времени равна минутам:
   

      

4. Составим уравнение:
   

Разделим обе части уравнения на :

Приведём левую часть к общему знаменателю:

5. Найдём корни уравнения:
   
   
   
   
   
           

Скорость автомобиля из А в Б равна км/ч.

Раскроем модуль в зависимости от знака выражения :

1. При : .
   
   
   Это парабола, ветви направлены вверх.
   Вершина параболы:
   
   
   
   
   Точка стыка при :
   

Таблица значений для :

		-

2. При : .
   
   
   Это парабола, ветви направлены вверх.
   Вершина параболы:
   
   
   
   
   Точка стыка при :
   

Таблица значений для :

	-	-	-	-
		-	-	-	-

3. Исследуем количество точек пересечения графика с горизонтальной прямой :

• При : общих точек;
• При : общая точка (вершина левой параболы);
• При : общие точки;
• При : общие точки (одна в вершине правой параболы и две на ветвях левой);
• При : общие точки;
• При : общие точки (в точке стыка и на внешних ветвях обеих частей);
• При : общие точки.

Таким образом, ровно три общие точки прямая имеет при и .

1. Пусть — центр окружности, — её радиус.
2. Проведём перпендикуляры из центра к хордам: и .
   Перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит её пополам:
   
   
   
3. В прямоугольном треугольнике отрезок — расстояние от центра до хорды , то есть , а .
   По теореме Пифагора:
   
4. В прямоугольном треугольнике отрезок — искомое расстояние от центра до хорды , а .
   По теореме Пифагора:
   
   
   

1. Обозначим длины противоположных сторон параллелограмма:
   

2. Проведём через точку высоту параллелограмма, перпендикулярную сторонам и .
   Пусть — высота треугольника , опущенная из вершины на сторону , а — высота треугольника , опущенная из вершины на сторону .
   Тогда сумма этих высот равна расстоянию между параллельными прямыми и , то есть высоте параллелограмма :
   

3. Найдём сумму площадей треугольников и :
   

4. Так как точка лежит внутри параллелограмма, его площадь складывается из площадей четырёх непересекающихся треугольников:
   

5. Подставим полученную сумму:
   

6. Таким образом:
   

   
   что и требовалось доказать.

1. Пусть дана трапеция с основаниями и (). Углы при основании :
   

   
   Заметим, что:
   

2. Продлим боковые стороны и до пересечения в точке .
   В треугольнике :
   

   
   Значит, треугольник — прямоугольный с прямым углом при вершине . Так как , треугольник также прямоугольный ().

3. Пусть — середина основания , — середина основания .
   Отрезки и являются медианами прямоугольных треугольников и , проведёнными к их гипотенузам:

• В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине:
  
• Точки , , лежат на одной прямой, так как гомотетия с центром , переводящая отрезок в , переводит середину в середину .
  Следовательно, длина отрезка , соединяющего середины оснований, равна:
  

4. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, является средней линией трапеции. Его длина равна полусумме оснований:
   

5. По условию, отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны и .
   Так как полусумма всегда строго больше полуразности положительных чисел (), то:
   

   
   

6. Составим систему уравнений:
   

Сложим уравнения:

Вычтем второе уравнение из первого: