∠ MAB + ∠ AA₁B₁ = 180°, ∠ MAC + ∠ AA₁C₁… (геометрия)

ВПризнак параллельности плоскостей

⚠️

Задание В не решено: на фото видна только одна пара отмеченных равных углов (при вершинах A₁ и A), а для доказательства нужны две пары. Пришлите В крупнее, чтобы были видны все отмеченные углы.

$∠ M A B + ∠ A A_{1} B_{1} = 18 0^{\circ}$ , $∠ M A C + ∠ A A_{1} C_{1} = 18 0^{\circ}$ . Доказать, что $(A B C) ∥ (A_{1} B_{1} C_{1})$ .

Решение

Точки и лежат на ребрах и , поэтому прямые и лежат в одной плоскости , а — их секущая.
Углы и — односторонние при секущей , и их сумма равна . Значит, .
Аналогично в плоскости : углы и — односторонние при секущей , их сумма равна . Значит, .
Две пересекающиеся прямые и плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым и плоскости . По признаку параллельности плоскостей .

💡 Почему так

Признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Ответ

Плоскости и параллельны, что и требовалось доказать.

ВПараллельные плоскости и секущие

$α ∥ β$ , $A A_{1} = 2 M A = 12$ , $M B = 5$ . Найти $M A_{1}$ и $M B_{1}$ .

Решение

Из получаем .
.
Плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым, поэтому . Треугольники и подобны:
.

💡 Почему так

Плоскость, пересекающая две параллельные плоскости, даёт параллельные прямые пересечения, поэтому треугольники подобны.

Ответ

, .

ВПараллельные плоскости и секущие

$α ∥ β$ , $A B = 18$ , $M A = 24$ , $M A_{1} : A A_{1} = 3 : 2$ . Найти $A_{1} B_{1}$ и $M A_{1}$ .

Решение

Пусть , . Так как , то .
, поэтому .
, поэтому треугольники и подобны с коэффициентом
.

💡 Почему так

Плоскость пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым и , поэтому треугольники подобны.

Ответ

, .

ВРасстояние между параллельными плоскостями

$α ∥ β$ , $A C$ и $B D$ — наклонные, $C M : D N = 6 : 7$ . Найти расстояние между плоскостями $α$ и $β$ . (На чертеже $A C = 51$ , $B D = 53$ , $A M ⊥ β$ , $B N ⊥ β$ .)

Решение

и , поэтому — расстояние между плоскостями.
Пусть , . Из прямоугольных треугольников и :
Отсюда
, поэтому

💡 Почему так

Перпендикуляры, опущенные из точек одной из параллельных плоскостей на другую, равны, и каждый из них является катетом прямоугольного треугольника с наклонной в качестве гипотенузы.

Ответ

ВРасстояние между параллельными плоскостями

$α ∥ β$ , $A C$ и $B D$ — наклонные, $A M = B N$ . Найти $D N$ . (На чертеже $A C = 13$ , $B D = 20$ , $C M = 5$ , $A M ⊥ β$ , $B N ⊥ β$ .)

Решение

Из прямоугольного треугольника :
.
Из прямоугольного треугольника :

💡 Почему так

Перпендикуляры между параллельными плоскостями равны, поэтому , а неизвестный катет находится по теореме Пифагора.

Ответ

Помогло?