Задания
ABCD — трапеция. Доказать: ∠AOB=90∘. (На чертеже AO — биссектриса угла A, BO — биссектриса угла B, O — их точка пересечения.)
Так как
AO и BO — биссектрисы, значит
В треугольнике AOB:
Сумма односторонних углов при параллельных прямых равна
ABCD — трапеция. Доказать: BC=DF. (На чертеже E — середина CD, то есть CE=ED; прямая BE пересекает продолжение AD в точке F.)
Рассмотрим треугольники BCE и FDE:
(по условию). (вертикальные). (накрест лежащие при и секущей CD).
Значит,
Равные треугольники имеют равные соответственные стороны: BC лежит против угла BEC, а DF — против равного ему угла DEF.
ABCD — трапеция. Доказать: AB=CD. (На чертеже диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO=OD.)
, значит, треугольник AOD равнобедренный и , то есть . - Треугольники ABD и DCA:
- AD — общая сторона;
; , а и (накрест лежащие при ), поэтому и . Значит, .
по двум сторонам и углу между ними ( общая, , ).
Следовательно,
Равные диагонали и равные углы при основании дают равенство треугольников, а значит, и боковых сторон.
Дано: BE∥CD. Найти углы трапеции. (На чертеже ∠A=40∘, ∠ABE=75∘.)
- В треугольнике ABE:
, значит, (соответственные). , поэтому . (накрест лежащие при ), тогда
Проверка:.
BCDE — параллелограмм, а сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна
Найти углы трапеции. (На чертеже AB=BC=CD, ∠ACD=90∘.)
, значит, . Так как , то . Пусть , тогда и . - Трапеция равнобедренная (
), поэтому . - В треугольнике ACD
:
, .
Диагональ AC является биссектрисой угла A, так как треугольник ABC равнобедренный, а BC
Дано: AB=CD. Найти AE и ED. (На чертеже BC=a, AD=b, BE — высота.)
Проведём высоту CH на AD. Тогда
Прямоугольные треугольники ABE и DCH равны (по гипотенузе и катету:
В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки: меньший равен полуразности оснований, больший — их полусумме.
