Куб 4 × 4 × 4 составлен из единичных кубиков. Из него…

Введём координаты кубиков от до по каждой оси. Пусть вынут кубик на ребре вдоль оси . Рядом с ним на ребре стоят угловой кубик и рёберный кубик .

Целый куб. Кубиков с двумя окрашенными гранями — рёберные (не угловые). На каждом из рёбер их по , всего .

Что меняется после удаления . У было внешние грани, а грани соприкасались с соседями. Поэтому у выемки новые окрашенные грани, они принадлежат четырём соседям:

• — угловой: было окрашенные грани, стало (на счёт не влияет);
• — рёберный: было , стало (выбывает из подсчёта);
• — центральный кубик грани: было , стало (добавляется);
• — центральный кубик грани: было , стало (добавляется).

Подсчёт.

Здесь вычитаем вынутый кубик и кубик , а прибавляем два кубика, получивших вторую окрашенную грань.