Куб 4×4×4 составлен из единичных кубиков. Из него вынули один из двух кубиков, не являющихся угловыми и находящихся на одном ребре большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая четыре новые квадратные грани выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?
Сначала посчитаем кубики с двумя окрашенными гранями в целом кубе. Это некрайние кубики на рёбрах. На каждом ребре таких кубиков
Вынутый кубик стоял на ребре. Назовём его соседей по рёбрам: угловой кубик и второй средний кубик ребра. Теперь посмотрим, как изменились соседние кубики. У вынутого кубика
- Угловой кубик на этом ребре. Было
окрашенные грани, стало . Он не подходит. - Второй средний кубик этого ребра. Было
окрашенные грани, стало . Он перестал подходить. - Два кубика, которые лежат на соседних гранях рядом с выемкой. Это кубики из середины граней. Было
окрашенная грань, стало . Они подходят. - Четвёртая новая грань выемки приходится на второй угловой кубик этого ребра? Нет: у ребра из
кубиков вынут один из средних. Его соседи по ребру — угловой и средний, а двое других соседей — кубики граней. Поэтому пункты – охватывают все четыре новые грани.
Подсчёт:
- было
кубика с двумя окрашенными гранями; - вынутый кубик был одним из них:
; - второй средний кубик ребра получил третью грань:
; - два кубика с граней получили вторую грань:
.
Выемка добавляет окрашенные грани четырём соседним кубикам. Один из них (средний на ребре) выбывает из подсчёта, а два кубика с граней в него попадают.
