Кратко сделай конспект (§1 «Координаты вектора»… (геометрия)

Конспект: разложение вектора по двум неколлинеарным векторам, координаты вектора

Кратко сделай конспект (§1 «Координаты вектора», главы X «Метод координат», п. 86–87, с. 227–230).

Решение

. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Лемма о коллинеарных векторах. Если и коллинеарны и , то существует такое число , что .

Доказательство. Возьмём .

Если , то , векторы и сонаправлены.
Если , то , векторы и снова сонаправлены.
В обоих случаях длины равны: . Значит, .

Разложение вектора. Если , то разложен по векторам и , а числа и — коэффициенты разложения.

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство. Пусть и неколлинеарны.

Возможность разложения.

Если коллинеарен , то по лемме , то есть .
Если не коллинеарен ни , ни : отложим от точки векторы , , . Через проведём прямую, параллельную , она пересекает прямую в точке . По правилу треугольника . Векторы и коллинеарны и , поэтому , . Следовательно, .

Единственность. Пусть есть ещё одно разложение . Вычитая, получаем:

Если , то , то есть и коллинеарны, что противоречит условию. Значит, и .

. Координаты вектора

Прямоугольная система координат: две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой выбрано направление и единица измерения отрезков.
Координатные векторы и — единичные векторы, отложенные от начала координат : направлен по оси , — по оси . Они неколлинеарны.
Любой вектор раскладывается по ним: . Коэффициенты и единственны и называются координатами вектора . Запись: .
Пример (рис. ): , .
Нулевой вектор: , то есть .
Если , то и : координаты равных векторов соответственно равны.

Правило °. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов:

(Правила ° — для разности и ° — для произведения вектора на число начинаются на следующей странице и на фото не видны.)

💡 Почему так

Единственность разложения следует из неколлинеарности векторов: иначе один выражался бы через другой. Поэтому координаты вектора определены однозначно.

Ответ

✓ dzmen.ru

Конспект: лемма о коллинеарных векторах (), теорема о единственном разложении , координатные векторы , , координаты вектора , равные векторы имеют равные координаты, координаты суммы векторов равны суммам координат.

Помогло?

Кратко сделай конспект (§1 «Координаты вектора», главы X «Метод координат», п…