Сделай конспект параграфа 86 «Разложение вектора по двум неколлинеарным…

Конспект. § . Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

. Лемма о коллинеарных векторах.
Если векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ коллинеарны и $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, то существует такое число , что $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Доказательство. Возможны два случая.

1. $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$ (сонаправлены). Возьмём $\frac{\stackrel{⃗}{}}{\stackrel{⃗}{}}$. Так как , векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ сонаправлены. Длины равны:
   

   $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\frac{\stackrel{⃗}{}}{\stackrel{⃗}{}}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$
   
   Поэтому $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

2. $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$ (противоположно направлены). Возьмём $\frac{\stackrel{⃗}{}}{\stackrel{⃗}{}}$. Так как , векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ снова сонаправлены. Длины равны:
   

   $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\frac{\stackrel{⃗}{}}{\stackrel{⃗}{}}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$
   
   Поэтому $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Лемма доказана.

Лемма — вспомогательная теорема, с помощью которой доказывается следующая теорема или несколько теорем.

. Определение. Пусть $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ — два данных вектора. Если вектор $\stackrel{⃗}{}$ представлен в виде $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, где и — некоторые числа, то говорят, что $\stackrel{⃗}{}$ разложен по векторам $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$. Числа и называются коэффициентами разложения.

. Теорема. На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство. Пусть $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ неколлинеарны.

Существование разложения. Возможны два случая.

1. Вектор $\stackrel{⃗}{}$ коллинеарен одному из векторов, например $\stackrel{⃗}{}$. По лемме $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, значит $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, то есть $\stackrel{⃗}{}$ разложен по $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$.

2. Вектор $\stackrel{⃗}{}$ не коллинеарен ни $\stackrel{⃗}{}$, ни $\stackrel{⃗}{}$. Отметим точку и отложим $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$ (рис. ). Через точку проведём прямую, параллельную ; она пересекает прямую в точке . По правилу треугольника
   

   $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{{}_{}}\overrightarrow{{}_{}}$
   
   Векторы $\overrightarrow{{}_{}}$ и $\overrightarrow{{}_{}}$ коллинеарны соответственно $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$, поэтому по лемме существуют числа и такие, что $\overrightarrow{{}_{}}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{{}_{}}\stackrel{⃗}{}$. Следовательно,
   
   $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$

Единственность. Допустим, что наряду с $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$ есть другое разложение $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$. Вычитая второе равенство из первого, получаем

Это возможно только при и . Если, например, , то

и векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ коллинеарны, что противоречит условию. Значит, и . Теорема доказана.

Конспект. § . Координаты вектора

. Прямоугольная система координат. Для её задания нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, выбрать на каждой направление (стрелкой) и единицу измерения отрезков. При выбранной единице длина каждого отрезка выражается положительным числом.

. Координатные векторы. Отложим от начала координат единичные векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ (длины равны единице): направление $\stackrel{⃗}{}$ совпадает с направлением оси , а $\stackrel{⃗}{}$ — с направлением оси (рис. ). Векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ называются координатными векторами. Они не коллинеарны, поэтому любой вектор $\stackrel{⃗}{}$ можно разложить по ним:

причём коэффициенты и определяются единственным образом.

. Координаты вектора. Коэффициенты разложения и называются координатами вектора $\stackrel{⃗}{}$ в данной системе координат. Записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: $\stackrel{⃗}{}$. На рисунке $\overrightarrow{}$ и $\stackrel{⃗}{}$.

. Нулевой вектор. $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, поэтому $\stackrel{⃗}{}$: координаты нулевого вектора равны нулю.

. Равные векторы. Если $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$ равны, то и . Координаты равных векторов соответственно равны.

. Правила нахождения координат (позволяют по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число).

. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Доказательство для двух векторов: пусть $\stackrel{⃗}{}{}_{}{}_{}$, $\stackrel{⃗}{}{}_{}{}_{}$. Так как $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$, $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$, то по свойствам сложения векторов и умножения вектора на число

Значит, $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$.

. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Если $\stackrel{⃗}{}{}_{}{}_{}$ и $\stackrel{⃗}{}{}_{}{}_{}$, то $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}{}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$. (Доказывается аналогично .)

. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Пусть $\stackrel{⃗}{}$, — произвольное число. Так как $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, то $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Значит, $\stackrel{⃗}{}$.

. Эти правила позволяют найти координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.