Кратко конспект пунктов 86 «Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам»…

. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Лемма. Если векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ коллинеарны и $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, то существует такое число , что $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Доказательство. Берём $\frac{\stackrel{⃗}{}}{\stackrel{⃗}{}}$, если $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, и $\frac{\stackrel{⃗}{}}{\stackrel{⃗}{}}$, если $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Тогда $\stackrel{⃗}{}$ сонаправлен с $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, поэтому $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Разложение вектора. Если $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, то $\stackrel{⃗}{}$ разложен по векторам $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$; числа и — коэффициенты разложения.

Теорема. Любой вектор на плоскости можно разложить по двум неколлинеарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство (суть).

1. Если $\stackrel{⃗}{}$ коллинеарен, например, $\stackrel{⃗}{}$, то по лемме $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, т. е. $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.
2. Если $\stackrel{⃗}{}$ не коллинеарен ни $\stackrel{⃗}{}$, ни $\stackrel{⃗}{}$: откладываем от точки векторы $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$. Через проводим прямую, параллельную , она пересекает в точке . По правилу треугольника $\stackrel{⃗}{}\overrightarrow{{}_{}}\overrightarrow{{}_{}}$. Векторы $\overrightarrow{{}_{}}$ и $\overrightarrow{{}_{}}$ коллинеарны $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$, поэтому $\overrightarrow{{}_{}}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{{}_{}}\stackrel{⃗}{}$, т. е. $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

Единственность. Пусть есть два разложения: $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$. Вычитаем:

Если , то $\stackrel{⃗}{}\frac{{}_{}}{{}_{}}\stackrel{⃗}{}$, т. е. $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$ коллинеарны — противоречие. Значит, , .

. Координаты вектора

• Прямоугольная система координат: две взаимно перпендикулярные оси с выбранным направлением и единицей измерения.
• Координатные векторы $\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}$: единичные, от начала координат , $\stackrel{⃗}{}$ сонаправлен с осью , $\stackrel{⃗}{}$ — с осью . Они не коллинеарны.
• Любой вектор раскладывается: $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Коэффициенты и — координаты вектора $\stackrel{⃗}{}$, пишут $\stackrel{⃗}{}$.
• Пример (рис. ): $\overrightarrow{}$, $\stackrel{⃗}{}$.
• Нулевой вектор: $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, т. е. $\stackrel{⃗}{}$.
• Равные векторы имеют равные соответствующие координаты: если $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$, $\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}{}_{}\stackrel{⃗}{}$ и $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$, то , .

Правило °. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов:

Правила ° и ° (видны частично на краю страницы): каждая координата разности векторов равна разности соответствующих координат; каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число: