Построение сечений параллелепипеда (куба)
Контрольная работа.
Построить сечения куба (прямоугольного параллелепипеда), проходящие через три заданные точки (пункты 1–8).
Решение
Для удобства обозначим вершины куба стандартным образом: нижнее основание
- Точки:
лежит на левом переднем ребре ; лежит на переднем ребре верхнего основания ; лежит на задней вершине или ребре верхнего основания (в вершине или ).
Построение:- Точки
и лежат в одной грани ( ), соединяем их отрезком . - Прямая
пересекает прямую нижнего ребра в некоторой точке . - Точки
и лежат в плоскости верхней грани ( ), соединяем их отрезком . - В противоположных параллельных гранях секущая плоскость пересекает грани по параллельным отрезкам. Проводим через точку
прямую, параллельную отрезку , до пересечения с ребром (или гранью ), и через точку прямую, параллельную , до замыкания сечения. Получаем четырёхугольник (или трапецию/пятиугольник).
- В тетради уже построено сечение:
Четырёхугольник, где через точку проведена прямая параллельно ребру/сечению, получено сечение, заштриховано.
- Точки:
лежит на ребре ; лежит на ребре ; лежит на ребре .
Построение:- Точки
и лежат в верхней грани, соединяем их отрезком . - Точки
и лежат в правой грани ( ), соединяем их отрезком . - Так как плоскость левой грани (
) параллельна плоскости правой грани ( ), через точку проводим отрезок, параллельный отрезку , до пересечения с ребром (точка ). - Соединяем точки
и (лежат в задней грани ). Сечение — четырёхугольник (трапеция) .
- Точки:
лежит на ребре ; лежит на ребре ; лежит на ребре .
Построение:- Точки
и лежат в нижней грани ( ), соединяем их отрезком . - Точки
и лежат в правой грани ( ), соединяем их отрезком . - Через точку
в левой/передней грани проводим прямую, параллельную , до пересечения с ребром (точка ). - Через точку
в задней грани проводим прямую, параллельную отрезку , до пересечения с ребром (или ). Получаем многоугольник сечения.
- Точки:
— на ребре ; — на ребре ; — на ребре .
Построение:- Продлеваем отрезок через точки, лежащие в пересекающихся плоскостях (метод следов): прямая
лежит в плоскости диагонального сечения или строится след секущей плоскости на плоскости основания . - Находим точку пересечения прямой с продолжением соответствующих рёбер и замыкаем сечение.
- Точки:
— вершина (или точка на ); — на ребре ; — на ребре .
Построение:- Точки
и лежат на одном ребре , значит, секущая плоскость содержит всю прямую . - Соединяем точку
(или ) с точкой через грань или диагональ. Проводим прямую через точку параллельно — это вертикальная прямая в грани до верхнего ребра (точка ). - Соединяем полученную точку
с точкой в верхней грани. Сечение — параллелограмм (прямоугольник).
- Точки:
— на верхнем ребре ; — на ребре ; — на ребре .
Построение:- Точки
и лежат в передней грани ( ), соединяем их отрезком . - Точки
и лежат в правой грани ( ), соединяем их отрезком . - В верхней грани через точку
проводим прямую, параллельную отрезку , до пересечения с ребром (точка ). - В задней грани через точку
проводим прямую, параллельную отрезку , до пересечения с ребром (точка ). - Соединяем точки
и в левой грани. Получаем пятиугольник .
- Точки:
— на ребре ; — на ребре ; — на ребре .
Построение:- Точки
и лежат в плоскости нижнего основания ( ), соединяем их отрезком . - Так как плоскости оснований параллельны, через точку
в верхнем основании проводим отрезок, параллельный отрезку , до пересечения с ребром (точка ). - Соединяем точки
и (лежат в передней/боковой плоскости) и точки и (лежат в задней/боковой плоскости). Сечение — четырёхугольник (трапеция) .
💡 Почему так
При построении сечений многогранников используются два основных правила:
- Соединять можно только те две точки, которые лежат в плоскости одной и той же грани.
- Плоскости противоположных граней куба (параллелепипеда) параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым (отрезкам).
Ответ
Порядок соединения и построения линий сечения:
- Соединить
и ; провести параллельно линии через точку ; замкнуть многоугольник. - Уже построено на чертеже (четырёхугольник
). - Соединить
с , с ; через точку провести прямую, параллельную , до ребра (точка ); соединить и . - Соединить
с , с ; через провести прямую, параллельную , а через — параллельную . - Построить след плоскости на нижнем основании и достроить сечение методом следов.
- Соединить
и (лежат на одном вертикальном ребре); через точку провести вертикальный отрезок вверх до ребра (точка ); соединить с и с . - Соединить
с и с ; через провести прямую, параллельную , а через — параллельную ; соединить концы в левой грани. - Соединить
и ; через точку в верхней грани провести отрезок, параллельный , до ребра (точка ); соединить с и с .
Помогло?
