Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной √41. Горизонтали доски…

Пусть  — центр клетки . Добавим нулевой вектор $\overrightarrow{}$, сумма не изменится. Тогда сумма равна

по всем клеткам. Пусть  — центр доски. Центры клеток расположены симметрично относительно , поэтому $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$. Значит,

Найдём . Возьмём сторону клетки за единицу. Центр имеет координаты  , центр доски —  . Тогда

Его длина в клетках:

Переходим к настоящим единицам: умножаем на .

Длина суммы:

Оценка. Допустим, есть цикл из отрезков. Пройдём по нему и перемножим отношения чисел на концах отрезков (в направлении обхода). Каждый отрезок даёт либо , либо . Так как все различны, произведение не может равняться , а при полном обходе цикла оно равно . Противоречие, значит, циклов нет.

Граф на вершинах без циклов — лес, в нём не больше рёбер.

Пример. Возьмём числа

то есть произведения первых простых чисел, . Все  чисел различны. Отношение соседних чисел — простые числа , и они различны. Отношение несоседних чисел — произведение нескольких простых, то есть составное число, поэтому такие точки не соединяются. Получаем отрезков.