Из точки O проведены лучи OA, OB и OC (рис. 33)… (геометрия)

№ .Биссектрисы углов, найти углы

⚠️

Задание обрезано, виден только его номер и начало первого пункта («Два равных тупых угла имеют об…»), поэтому его не решаю. Переснимите нижнюю часть страницы ближе и крупнее.

Из точки $O$ проведены лучи $O A$ , $O B$ и $O C$ (рис. 33), причём $O B ⊥ O A$ . Угол, образованный биссектрисами углов $A O B$ и $B O C$ , равен $2 0^{\circ}$ . Найдите углы $A O B$ , $A O C$ и $C O B$ .

Решение

Так как , то . Луч лежит внутри угла (по рисунку).

Пусть . Биссектриса угла отклоняется от на , биссектриса угла отклоняется от на . Угол между ними:

Тогда

💡 Почему так

Биссектриса делит угол пополам, а угол между биссектрисами равен разности их отклонений от общей стороны .

Ответ

, ,

№ .Углы при пересечении прямых

При пересечении двух прямых образовались четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что градусные меры двух из них относятся как $4 : 5$ .

Решение

Два угла из четырёх, которые относятся как , не равны, значит они смежные (вертикальные были бы равны). Сумма смежных углов :

Вертикальные углы им равны, поэтому два других угла тоже

💡 Почему так

Смежные углы в сумме дают , вертикальные равны.

Ответ

, , ,

№ .Углы с перпендикулярными сторонами

Даны два угла $A O B$ и $B O C$ с общей вершиной. Стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого (рис. 34). Найдите эти углы, если разность между ними равна прямому углу.

Решение

Углы с взаимно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме дают . Равными они быть не могут, так как их разность . Значит, их сумма . Пусть большой угол , меньший :

Складываем:

, откуда

💡 Почему так

Угол между перпендикулярными сторонами «поворачивается» на , поэтому такие углы равны или дополняют друг друга до .

Ответ

№ .Биссектриса и перпендикуляр

Углы $A O B$ и $B O C$ смежные, $O M$ — биссектриса угла $A O B$ , луч $O N$ принадлежит внутренней области угла $B O C$ и перпендикулярен $O M$ . Является ли $O N$ биссектрисой угла $B O C$ ? Почему?

Решение

Пусть . Тогда , а (смежные углы).

Так как , то , значит

Получили

, значит

делит угол

пополам.

💡 Почему так

Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому луч, перпендикулярный биссектрисе одного из них, является биссектрисой другого.

Ответ

Да, — биссектриса угла , так как .

Помогло?

Из точки O проведены лучи OA, OB и OC (рис. 33), причём…