Из точки M на прямой AB проведены два луча MC и… (геометрия)

№ Смежные углы, биссектриса

Из точки $M$ на прямой $A B$ проведены два луча $M C$ и $M D$ . При этом $M D$ — биссектриса угла $C M B$ . Найдите величину угла $A M C$ , если $∠ B M D = 6 1^{\circ}$ . Ответ дайте в градусах.

Решение

— биссектриса, поэтому

Углы и смежные:

💡 Почему так

Сумма смежных углов равна °, биссектриса делит угол пополам.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Внешний угол равнобедренного треугольника

Внешний угол при вершине $B$ в равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A B$ равен $13 6^{\circ}$ . Найдите угол $C$ . Ответ дайте в градусах.

Решение

Угол треугольника смежен с внешним:

Треугольник равнобедренный с основанием , значит .

💡 Почему так

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, сумма углов треугольника °.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Равнобедренный треугольник, средняя линия

Биссектриса $B K$ равнобедренного треугольника $A B C$ с основанием $A C$ равна 8. Найдите длину боковой стороны $B C$ , если отрезок $M N$ , соединяющий середины боковых сторон, равен 15.

Решение

— средняя линия, поэтому .
В равнобедренном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, поэтому , .

💡 Почему так

Биссектриса, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является медианой и высотой.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Теорема Пифагора, медиана

Медиана $B M$ треугольника $A B C$ перпендикулярна стороне $A C$ , при этом $B M = 21$ , $A C = 56$ . Найдите $A B$ .

Решение

— середина , поэтому .
В прямоугольном треугольнике :

💡 Почему так

Теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Средняя линия прямоугольного треугольника

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 30 и 34 соответственно. Найдите наименьшую среднюю линию этого треугольника.

Решение

Второй катет:

Стороны треугольника: , , . Средняя линия равна половине параллельной ей стороны, поэтому наименьшая средняя линия параллельна наименьшей стороне:

💡 Почему так

Средняя линия параллельна стороне и равна её половине.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Медиана и высота в треугольнике

В треугольнике $A B C$ проведены медиана $B M$ и высота $B H$ , при этом $B C = B M$ и $A C = 76$ . Найдите длину отрезка $A H$ .

Решение

— середина : .
Треугольник равнобедренный (), — его высота, значит и медиана: .

💡 Почему так

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Параллельные прямые и углы

Прямые $a$ и $b$ параллельны (см. рисунок). Найдите величину угла 1, если $∠2 = 4 7^{\circ}$ , $∠3 = 5 6^{\circ}$ . Ответ дайте в градусах.

Решение

Нижние точки двух секущих и точка их пересечения образуют треугольник. В нём угол при пересечении () равен , угол равен . Третий угол при прямой :

Угол и этот угол — соответственные при параллельных и и секущей, поэтому

💡 Почему так

Сумма углов треугольника °; соответственные углы при параллельных прямых равны.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Прямоугольный треугольник с углом °

Катет $A C$ прямоугольного треугольника $A B C$ равен 35. Найдите длину гипотенузы $A B$ , если внешний угол при вершине $A$ равен $12 0^{\circ}$ .

Решение

Угол треугольника: .
Тогда . Катет лежит против угла , поэтому он равен половине гипотенузы:

💡 Почему так

Катет против угла ° равен половине гипотенузы.

Ответ

✓ dzmen.ru

№ Биссектриса равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ боковая сторона $A B = 24$ . Найдите длину биссектрисы $B K$ , если $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ .

Решение

— биссектриса, медиана и высота, . Тогда . В прямоугольном треугольнике катет лежит против угла :

💡 Почему так

Катет против угла ° равен половине гипотенузы.

Ответ

✓ dzmen.ru

№

Площадь прямоугольного треугольника

В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $53$ , а один из катетов равен 2. Найдите площадь этого прямоугольного треугольника.

Решение

Второй катет:

Площадь:

💡 Почему так

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Ответ

✓ dzmen.ru

Дополнительные задания, №Медиана к гипотенузе

В равнобедренном треугольнике $A B C$ с основанием $A C$ проведена высота $B K$ , а точка $P$ — середина стороны $B C$ . Найдите длину отрезка $K P$ , если $A C = 40$ , $B K = 15$ .

Решение

Высота к основанию является медианой: .
В прямоугольном треугольнике :

— медиана, проведённая к гипотенузе, она равна половине гипотенузы:

💡 Почему так

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?

Из точки M на прямой AB проведены два луча MC и MD.…