Дано: EF ∥ AC. Найти: PBEF. (На чертеже: AE = 4… (геометрия)

№ Средняя линия треугольника

Дано: $E F ∥ A C$ . Найти: $P_{B E F}$ . (На чертеже: $A E = 4$ , $F C = 5$ , $A C = 10$ ; $B E = E A$ и $B F = F C$ отмечены равными.)

Решение

Точки и — середины сторон и (отмечены равные отрезки), значит — средняя линия треугольника .

, .

💡 Почему так

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

Ответ

dzmen.ru

№ Средняя линия треугольника

Дано: $M N ∥ A C$ . Найти: $P_{A B C}$ . (На чертеже: $B M = 4$ , $B N = 3, 5$ , $M N = 3$ ; $A M = M B$ отмечены равными.)

Решение

— середина , и , поэтому — середина , а — средняя линия.

💡 Почему так

Прямая, проведённая через середину стороны параллельно другой стороне, делит третью сторону пополам (теорема Фалеса).

Ответ

dzmen.ru

№ Средняя линия треугольника

Дано: $P_{A B C} = 40$ . Найти: $P_{A_{1} B_{1} C_{1}}$ . (На чертеже $C_{1}$ , $A_{1}$ , $B_{1}$ — середины сторон $A B$ , $B C$ , $A C$ .)

Решение

, , — средние линии треугольника :

, , .

💡 Почему так

Периметр треугольника из средних линий равен половине периметра исходного.

Ответ

dzmen.ru

№ Средняя линия трапеции

Дано: $A B C D$ — трапеция. Доказать: $A O = O C$ . (На чертеже $M$ и $K$ — середины боковых сторон $A B$ и $C D$ , $O$ — точка пересечения $M K$ и $A C$ .)

Решение

— средняя линия трапеции, поэтому .

Рассмотрим треугольник : — середина , а ( лежит на ).

По теореме Фалеса прямая, проведённая через середину стороны параллельно , пересекает в её середине. Значит, — середина , то есть .

💡 Почему так

Средняя линия трапеции параллельна основаниям, а прямая через середину стороны треугольника параллельно другой стороне делит третью сторону пополам.

Ответ

dzmen.ru

доказано

№ Средняя линия трапеции

Дано: $A B C D$ — трапеция. Найти: $E F$ , $M E$ , $F N$ . (На чертеже $B C = a$ , $A D = b$ , $M$ и $N$ — середины боковых сторон, $E$ и $F$ — точки пересечения $M N$ с диагоналями.)

Решение

Считаем (как на чертеже). — средняя линия трапеции:

Левая точка лежит на диагонали . В треугольнике отрезок проходит через середину параллельно , значит — средняя линия:

Аналогично в треугольнике : .

💡 Почему так

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований; диагонали делят её на отрезки, два из которых — средние линии треугольников.

Ответ

dzmen.ru

№ Параллелограмм Вариньона

Доказать: $M N P K$ — параллелограмм. (На чертеже $A B C D$ — четырёхугольник, $M$ , $N$ , $P$ , $K$ — середины сторон $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ .)

Решение

Проведём диагональ .

В треугольнике отрезок — средняя линия: , .

Тогда и . Четырёхугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, — параллелограмм. Значит, — параллелограмм.

💡 Почему так

Признак параллелограмма: две противоположные стороны равны и параллельны.

Ответ

dzmen.ru

— параллелограмм, так как и

Помогло?

Дано: EF ∥ AC. Найти: PBEF. (На чертеже: AE = 4, FC…