Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что:
а) DC⊥B1C1 и AB⊥A1D1, если ∠BAD=90∘;
б) AB⊥CC1 и DD1⊥A1B1, если AB⊥DD1.
Чертёж а)
Грани параллелепипеда — параллелограммы, поэтому противоположные рёбра параллельны.
а)
-
(грань ) и (грань ). Значит, . -
Угол между прямыми
и равен углу между и , то есть . Следовательно, . -
(грань ), а . Угол между и равен углу между и , то есть . Следовательно, .
Чертёж б)
б)
(грань — параллелограмм). Так как , то и . Следовательно, .
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и вторая ей перпендикулярна: угол между прямыми не меняется при замене прямой на параллельную ей.
а)
б)
