Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠ CAD = 4∠ ADB,…

Пусть вершины расположены на окружности последовательно.

Введём угловые меры дуг окружности. Пусть дуги ориентированы:
Вписанные углы измеряются половиной стягиваемой дуги:

• , , поэтому условие означает:

• , , поэтому условие означает:

Обозначим градусные меры дуг: , . Тогда:

Сумма всех дуг окружности равна :

Разделим на :

Так как хорды параллельны, дуги между ними равны:

1. .
2. .

Найдём угол между прямыми и .
Угол между секущими/хордами и опирается на дугу :

Выразим положение точки : от до дуга равна (так как , дуги между параллельными хордами и равны). Значит, дуга равна:

Так как , угол между прямыми и равен углу между прямыми и , то есть вписанному углу :

Подставим полученное выше значение :

У бочонка:

• Верхнее основание — правильный -угольник ( вершин верхнего уровня).
• Средний пояс — правильный -угольник ( вершин среднего уровня).
• Нижнее основание — правильный -угольник ( вершин нижнего уровня).

Всего у бочонка вершин.

Грани бочонка:

• Верхнее основание (-угольник): грань.
• Верхний пояс трапеций (четырёхугольники между верхним и средним уровнями): граней.
• Нижний пояс трапеций (четырёхугольники между средним и нижним уровнями): граней.
• Нижнее основание (-угольник): грань.

Всего граней: грани.

В условии сказано: в каждой грани провели ровно одну диагональ.
Следовательно, общее число проведённых диагоналей во всем многограннике равно числу граней, то есть .

Ломаная составляется из этих диагоналей. Так как каждая грань содержит не более одной диагонали, ломаная может содержать не более одной диагонали из каждой грани. Поэтому число звеньев ломаной не превосходит общего количества выбранных диагоналей, то есть не может быть больше .

Проверим, возможно ли получить цепь из звеньев:
Рассмотрим граф, образованный вершинами многогранника:

• Трапеция верхнего пояса соединяет верхнюю вершину со средней вершиной . Диагональ в ней — это ребро между верхним и средним уровнем.
• Трапеция нижнего пояса соединяет среднюю вершину с нижней вершиной . Диагональ в ней — это ребро между средним и нижним уровнем.
• Диагональ в основании соединяет две несмежные вершины того же основания.

Заметим, что граф двудольный по разбиению уровней вершин: вершины верхнего () и нижнего () уровней соединяются только со средним уровнем () через диагонали боковых граней, а диагональ верхнего основания соединяет две вершины из , диагональ нижнего — две вершины из .
Всего вершин среднего уровня . Каждое прохождение ломаной через средний уровень использует одну вершину . Так как ломаная простая (не проходит через одну точку дважды), она может посетить не более вершин среднего уровня.

При движении по диагоналям боковых граней мы чередуем вершины среднего уровня и основания. Если ломаная содержит звеньев, каждое звено из боковых граней инцидентно хотя бы одной вершине среднего уровня.
Диагонали боковых граней соединяют с или со . Звенья из боковых граней не могут идти подряд без захода в средний уровень.
Максимальное число заходов в средний уровень равно . Каждая вершина среднего уровня имеет степень в простой ломаной не более . Следовательно, общее число инцидентных среднему уровню рёбер (диагоналей боковых граней) не превышает .
К этому пути можно добавить не более одной диагонали в верхнем основании и одной в нижнем основании (так как оснований всего два, и в каждом проведено по одной диагонали):

Поскольку вершин среднего уровня , а верхнего и нижнего уровней по , можно выбрать диагонали трапеций зигзагом, обходящим последовательно грани бочонка, соединив их диагоналями оснований.
Таким образом, ломаная может состоять из всех диагоналей.

Пусть на левую чашу весов положено множество монет , на правую — , а вне весов осталось множество .
Эксперт знает веса всех монет, а судья видит только разделение всех монет на три группы: , и с размерами .
Также судья видит результат взвешивания: чаши в равновесии, либо левая тяжелее, либо правая тяжелее.

Чтобы судья однозначно понял вес каждой монеты, распределение монет по группам должно быть таким, чтобы при известном результате взвешивания существовал ровно один способ приписать веса , , монетам в соответствии с их количествами .
Это означает, что для каждого типа монет (, , ) состав групп должен однозначно определять, какие именно монеты имеют этот вес.
В частности, чтобы судья различил монеты веса  от монет других весов, монеты одного веса должны быть сгруппированы определённым образом (например, все монеты веса  лежат на одной чаше или вне весов).

Рассмотрим случай, когда судья может однозначно определить вес каждой монеты:
Это возможно тогда и только тогда, когда каждая из групп монохроматична (содержит монеты только одного веса).
Поскольку весов всего три (, , ), а групп тоже три (), каждая группа должна целиком состоять из монет одного достоинства:

• одна группа состоит из всех монет веса ;
• вторая группа состоит из всех монет веса ;
• третья группа состоит из всех монет веса .

На чашах весов лежат две из этих трех групп. Чтобы результат взвешивания был однозначно интерпретируем и строго определял веса:
Вес чаш может быть равен только в случае, если две группы имеют равный суммарный вес.
Если чаши в равновесии:

1. Если на весах монеты по  и по  г:
   (так как ). При этом оставшиеся монеты — это монет веса (любое ). Судья знает , и видит на весах группы из  и  монет в равновесии. Единственный способ уравновесить монеты из доступных количеств — это , так что группа из  монет весит по  г, группа из  монет — по  г, а оставшиеся монет — по  г.
   Здесь .

2. Если на весах монеты по  и по  г:
   (так как ). Группа из  монет по  г уравновешивает группу из  монет по  г (). Оставшиеся монет имеют вес  г (для любого ).
   Здесь .

3. Если на весах монеты по  и по  г:
   Оставшиеся монет имеют вес  г (для любого ).
   В этом случае может принимать любое значение от  до : .

Так как при и взвешивание монет по  г против монет по  г даёт равновесие г, судья однозначно идентифицирует монеты: среди известных ему только группы из  и  монет могут уравновеситься (потому что невозможно, невозможно, так как  не делится на ). Значит, группа вне весов размера состоит из монет по  г, чаша с монетами — по  г, чаша с монетами — по  г.
Следовательно, для любого существуют подходящие и (а именно ).