ABCD — прямоугольник. Доказать: BN = CM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники и .

1. как противоположные стороны прямоугольника.
2. .
3. По отметкам на чертеже .

Значит, по катету и острому углу, прилежащему к нему. Поэтому .

1. В треугольнике угол , поэтому .
2. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, поэтому . Тогда .
3. .
4. как вертикальные.

1. , поэтому как накрест лежащие.
2. , так как диагонали прямоугольника равны и делятся пополам. Треугольник равнобедренный с углом при основании, значит, он равносторонний.
3. — высота равностороннего треугольника , а значит, и медиана: .
4. , .

1. как стороны ромба, поэтому в треугольнике : .
2. Диагональ ромба делит его угол пополам. Из этого следует, что .

Другой путь: , а .

1. как смежный с внешним углом.
2. Противоположные углы ромба равны, поэтому .

1. , поэтому треугольник равнобедренный и .
2. .

Площадь ромба (как параллелограмма) можно записать двумя способами:

Так как , получаем , откуда .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и .

1. как стороны ромба.
2. — общий.

Значит, по гипотенузе и острому углу. Поэтому .

Рассмотрим прямоугольные треугольники и .

1. — общая гипотенуза.
2. , так как диагональ ромба делит угол пополам.

Значит, по гипотенузе и острому углу. Поэтому .