2x ≤ 9 - 1/3x (алгебра)

Показательное неравенство, решаемое с помощью монотонности

$2^{x} \leq 9 - \frac{1}{3} x$

Решение

Рассмотрим две функции: и .

Функция возрастает на всей числовой оси, так как основание . Функция убывает, так как коэффициент при равен .

Значит, графики пересекаются не более чем в одной точке. Найдём её подбором:

Значения равны, поэтому — единственная точка пересечения.

При возрастающая принимает значения меньше , а убывающая — больше . Тогда и неравенство выполняется.

При получаем , и неравенство не выполняется.

Итак, .

💡 Почему так

Возрастающая функция и убывающая функция пересекаются не более одного раза. После нахождения этой точки знак неравенства определяется монотонностью.

Ответ

✓ dzmen.ru

Показательное уравнение, решаемое с помощью монотонности

$(\frac{1}{3})^{x} = - \frac{3}{x}$

Решение

Левая часть всегда положительна, поэтому правая часть тоже должна быть положительной: , то есть .

Рассмотрим и две функции: и .

Функция убывает, так как основание .

Для функции производная , поэтому на промежутке она возрастает.

Убывающая и возрастающая функции пересекаются не более чем в одной точке. Подберём её:

Значения равны, значит, — единственный корень.

💡 Почему так

Одна функция на промежутке убывает, другая возрастает, поэтому корень не более один. Найденный подбором корень и есть единственный.

Ответ

✓ dzmen.ru

Помогло?