9x - 4 · 3x + 3 = 0 (алгебра)

Показательное уравнение, замена переменной

⚠️

Правый столбец таблицы обрезан, задания в нём видны лишь частично, поэтому не решены. Решены только задания левого столбца. Чтобы решить и правый, переснимите так, чтобы он был виден целиком.

$9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Решение

Так как , сделаем замену , .

По теореме Виета , . Оба корня положительны.

, откуда .

💡 Почему так

Уравнение сводится к квадратному заменой , при этом .

Ответ

✓ dzmen.ru

;

Простейшее показательное неравенство

$3^{x} > 9$

Решение

Основание , поэтому функция возрастает и знак неравенства сохраняется:

💡 Почему так

При основании больше знак неравенства для показателей сохраняется.

Ответ

✓ dzmen.ru

Показательное неравенство с основанием меньше

$(\frac{1}{4})^{x} < 2$

Решение

Приведём к основанию : .

Основание , знак сохраняется:

💡 Почему так

Приводим обе части к одному основанию и сравниваем показатели.

Ответ

✓ dzmen.ru

Показательное неравенство с квадратичным показателем

$2^{- x^{2} + 3 x} < 4$

Решение

Основание , знак сохраняется:

Метод интервалов: или .

💡 Почему так

Сравниваем показатели и решаем квадратное неравенство.

Ответ

✓ dzmen.ru

Неравенство, функциональный метод

$(\frac{1}{3})^{x} \geq x + 1$

Решение

Функция убывает, а возрастает, поэтому графики пересекаются не более чем в одной точке.

При : и . Значит, — единственная точка пересечения.

При убывающая функция больше своего значения в нуле, а возрастающая меньше, то есть .

При наоборот: .

Неравенство нестрогое, поэтому точка входит в решение.

💡 Почему так

Убывающая и возрастающая функции пересекаются не более чем в одной точке, а по обе стороны от неё знак неравенства определён монотонностью.

Ответ

✓ dzmen.ru

Уравнение, функциональный метод

$2^{x} = 3 - 2 x - x^{2}$

Решение

Перенесём всё в одну часть: .

Производная не годится для сразу очевидного вывода, поэтому рассуждаем по графикам.

Правая часть — парабола ветвями вниз с вершиной , а — возрастающая положительная функция.

Парабола положительна при , поэтому корни могут лежать только там.

На парабола убывает, а возрастает, значит, здесь не более одного корня.

На парабола возрастает от до , а меняется от до . При : , то есть выше параболы. При : , то есть ниже. Значит, на этом промежутке есть ещё корень.

Проверим числа: , .

Итак, корень .

На : , , , , .

Корень .

Точных значений корней нет, уравнение решается графически или приближённо.

💡 Почему так

Уравнение вида «показательная функция = квадратный трёхчлен» не решается алгебраически, поэтому корни находят по пересечению графиков и уточняют подбором.

Ответ

✓ dzmen.ru

Два корня: и

Помогло?