Что такое всемирное тяготение и в чём суть закона
Всемирное тяготение — это притяжение между любыми телами, у которых есть масса. Земля притягивает яблоко, Луну и тебя, а ты притягиваешь Землю. Твоя масса мала, поэтому заметить это притяжение нельзя.
Закон всемирного тяготения открыл Исаак Ньютон. Формулировка такая: сила притяжения между двумя телами прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Эту силу называют силой всемирного тяготения, или гравитационной силой. Она относится к силам в механике, как сила тяжести и сила упругости.
Формула закона всемирного тяготения
F = G × m₁ × m₂ / r²
- F — сила притяжения между телами, Н;
- m₁ и m₂ — массы тел, кг;
- r — расстояние между телами, м;
- G = 6,67 × 10⁻¹¹ Н×м²/кг² — гравитационная постоянная, одна и та же для всех тел.
Формула верна для материальных точек и для однородных шаров. Для шаров r — расстояние между центрами. Планету тоже считают шаром, поэтому для тела на поверхности Земли r равно радиусу Земли.
Полезно сразу запомнить две зависимости. Масса одного тела выросла в 3 раза — сила выросла в 3 раза. Расстояние выросло в 3 раза — сила уменьшилась в 3² = 9 раз. Если расстояние между шарами увеличили в 2 раза, сила станет в 4 раза меньше, то есть изменится в 0,25 раза.
Как решить задачу на силу всемирного тяготения: разбор
Задача. Космонавт на Земле притягивается к ней с силой 800 Н. С какой силой он будет притягиваться к планете, масса которой в 8 раз, а радиус в 2 раза меньше земных?
- Запиши силу на Земле: F₁ = G × M × m / R², где M и R — масса и радиус Земли, m — масса космонавта.
- Запиши силу на планете: F₂ = G × (M/8) × m / (R/2)².
- Раскрой скобку: (R/2)² = R²/4. Тогда F₂ = G × M × m × 4 / (8 × R²) = F₁ / 2.
- Подставь число: F₂ = 800 / 2 = 400 Н.
Значения G и массы Земли подставлять не нужно, они сокращаются. Если в условии сказано «во сколько раз», решай через отношение F₂ / F₁: так меньше вычислений и меньше ошибок.
Ускорение свободного падения и движение спутника
Если тело лежит на поверхности планеты массой M и радиусом R, его ускорение свободного падения равно g = G × M / R². Для Земли: g = 6,67 × 10⁻¹¹ × 6 × 10²⁴ / (6,4 × 10⁶)² ≈ 9,8 м/с². На высоте h над поверхностью в формулу подставляют r = R + h.
Спутник на круговой орбите движется под действием силы тяготения, которая даёт ему центростремительное ускорение. Из этого получается v = √(G × M / r). Подробнее о таком движении написано в теме движение по окружности, а связь силы и ускорения — в законах Ньютона.
У самой поверхности скорость называют первой космической: v = √(g × R). Для Земли это около 7,9 км/с. Если в задаче дана плотность планеты, массу находят через массу и плотность: M = ρ × V, где V = 4/3 × π × R³.
Где ошибаются чаще всего
- Берут расстояние от поверхности, а не от центра. Если сила притяжения ракеты уменьшилась в 4 раза, то r увеличилось в 2 раза и r = 2R. Высота над поверхностью при этом равна R, а не 2R.
- Забывают возвести расстояние в квадрат. Расстояние выросло в 2 раза, а сила уменьшилась в 2 раза — это неверно, правильный ответ: в 4 раза.
- Думают, что тяжёлое тело притягивает сильнее. Земля притягивает камень и камень притягивает Землю с одинаковой по модулю силой. Различается только ускорение, потому что массы разные.
- Не переводят единицы. Радиус в километрах нужно перевести в метры: 3400 км = 3,4 × 10⁶ м. Иначе ответ будет неверным в миллионы раз.
Какие задания по теме присылают ученики
По этой теме в 9 классе чаще всего встречаются пять типов заданий: сформулировать закон, найти силу притяжения при изменении массы или расстояния, найти массу по силе и расстоянию, посчитать ускорение свободного падения и найти скорость спутника или первую космическую скорость.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и сверь ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй условие и отправь: ты получишь решение по шагам, как в разборе выше.