Пусть , — основания перпендикуляров, опущенных из и на . Движение сохраняет расстояние между точками, поэтому нужно выяснить, когда (для любых двух точек отрезка рассуждение такое же, потому что они лежат на отрезке той же прямой).
) Случай .
и , поэтому (две прямые, перпендикулярные третьей). Кроме того, , так как лежит на . Значит, — параллелограмм (противоположные стороны попарно параллельны), и . То же верно для любых двух точек , отрезка : , . Преобразование сохраняет расстояние, то есть является движением.
) Случай .
Проведём через прямую, параллельную ; она пересекает прямую в точке . Тогда — прямоугольник (три прямых угла), поэтому . В прямоугольном треугольнике (угол прямой) гипотенуза больше катета . Значит, — расстояние не сохраняется. (Если , то и .) Значит, в этом случае преобразование движением не является.
Итак, это движение только если .
