Докажите, что множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной прямой и лежащих по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной прямой.
Пусть дана прямая
-
Любая точка
прямой находится на расстоянии от : так как , по доказанному в вопросе точка равноудалена от так же, как и , то есть на расстоянии . -
Обратно, пусть точка
на данной стороне от находится на расстоянии от . Проведём через прямую ; по доказанному в пункте ) все её точки, в том числе , находятся на расстоянии от — это уже верно по построению . Прямая, параллельная и проходящая через точку на перпендикуляре к на расстоянии от неё с данной стороны, единственна (через точку проходит только одна прямая, параллельная данной), поэтому , то есть лежит на .
Значит, искомое множество точек — это в точности прямая
Множество точек на расстоянии
