Номер 989

Дано: произвольные $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Доказать двойное неравенство.

1. Отложим $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$, $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}$. Тогда по правилу треугольника $\overrightarrow{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. В треугольнике неравенство треугольника даёт , то есть $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Если точки лежат на одной прямой, та же формула следует из задачи .

2. Представим $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Применяем уже доказанное верхнее неравенство к этим двум слагаемым: $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$.

3. Противоположные векторы имеют равные длины, поэтому $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Вычитаем $\stackrel{⃗}{}$ из обеих частей: $\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}\stackrel{⃗}{}$. Оба неравенства вместе дают требуемое.