Дано: ; для произвольных точек , точка — середина отрезка .
Найти: доказать, что все такие точки лежат на одной прямой, параллельной и и равноудалённой от них.
Решение.
Прямая, перпендикулярная и проходящая через точку , перпендикулярна и прямой (так как ), поэтому основания перпендикуляров (на ) и (на ), опущенных из , лежат вместе с на одной прямой — общем перпендикуляре к и , и равен расстоянию между прямыми.
Рассмотрим прямоугольные треугольники и (). (так как — середина ). Углы и — вертикальные (прямые и пересекаются в точке ). По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу , откуда .
Значит, для любых , — расстояние от до и до одно и то же и не зависит от выбора , . По задаче множество точек, равноудалённых от и , есть прямая, параллельная им и расположенная посередине между ними. Значит, все точки лежат на этой прямой.
